《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

12. 新考向 真实情境(2023·山西)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志。如图，这是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，高铁在从A到B行驶的过程中转角α为60°。若圆曲线的半径OA=1.5 km，则这段圆曲线$\overset{\frown}{AB}$的长为(B)

A.$\frac{π}{4}$ km
B.$\frac{π}{2}$ km
C.$\frac{3π}{4}$ km
D.$\frac{3π}{8}$ km

答案： B

13. 如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(小羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(B)

A.$\frac{17}{12}$π m²
B.$\frac{77}{12}$π m²
C.$\frac{25}{4}$π m²
D.$\frac{17}{6}$π m²

答案： B

14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在$\overset{\frown}{AD}$上，∠BAC=22.5°，则$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{5\pi}{4}$。(结果保留π)

答案： $\frac{5\pi}{4}$

15. 【转化思想】如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是$\overset{\frown}{AB}$上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E。若CD=CE，则图中阴影部分面积为$\frac{25\pi}{8}$。
]

答案： $\frac{25\pi}{8}$

16. (2024·遵义期末)如图，四边形ABCD是菱形，半圆C分别与射线AB，射线AD相切于点E，F，GH是半圆C的直径，连接EF分别交BC，AC，CD于点M，Q，N。
(1)求证：EM=FN。
(2)若菱形的边长AB=4$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，求图中阴影部分的面积。
]

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore BC=DC$.$\because \odot C$分别与射线AB,射线AD相切于点E,F,$\therefore AE\perp CE$,$AF\perp CF$.$\therefore \angle BEC=\angle DFC=90^{\circ}$.$\because CE=CF$,$\therefore \angle CEF=\angle CFE$.在$Rt\triangle BEC$和$Rt\triangle DFC$中,$\left\{\begin{array}{l} BC=DC,\\ CE=CF,\end{array}\right.$$\therefore Rt\triangle BEC\congRt\triangle DFC(HL)$.$\therefore \angle BCE=\angle DCF$.在$\triangle MCE$和$\triangle NCF$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle CEM=\angle CFN,\\ CE=CF,\\ \angle MCE=\angle NCF,\end{array}\right.$$\therefore \triangle MCE\cong\triangle NCF(ASA)$.$\therefore EM=FN$.
(2)设$\odot C$交BC于点K,交DC于点L.
∵菱形ABCD的边长$AB=4\sqrt{3}$,$\angle BAD=60^{\circ}$,$\therefore BC=DC=AB=4\sqrt{3}$,$\angle KCL=\angle BAD=60^{\circ}$.$\because BC// AD$,$\therefore \angle CBE=\angle BAD=60^{\circ}$.$\because \angle BEC=90^{\circ}$,$\therefore \angle BCE=90^{\circ}-\angle CBE=30^{\circ}$.$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$.$\therefore CK=CE=\sqrt{BC^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=6$.$\therefore S_{菱形ABCD}=4\sqrt{3}×6=24\sqrt{3}$,$S_{扇形KCL}=\frac{60\pi×6^{2}}{360}=6\pi$.$\therefore S_{阴影}=S_{菱形ABCD}-S_{扇形KCL}=24\sqrt{3}-6\pi$.

17. 如图，放置在直线l上的扇形OAB由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③。若半径OA=2，∠AOB=45°，则点O所经过的最短路径的长是(C)

A.2π+2
B.3π
C.$\frac{5π}{2}$
D.$\frac{5π}{2}$+2

答案： C