《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

3. (2024·遵义播州区月考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + k = 0 $ 有两个实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 是否存在实数 $ k $,使得方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $,且满足 $ 2(x_{1}+x_{2})=x_{1}x_{2}-4 $? 若存在,请求出 $ k $ 的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个实数根，
∴Δ=(-4)²-4k≥0，解得k≤4.
(2)不存在. 理由：
∵方程的两个实数根分别为x₁,x₂，
∴x₁+x₂=4,x₁x₂=k.
∵2(x₁+x₂)=x₁x₂-4，
∴2×4=k-4，解得k=12. 又
∵k≤4，
∴不存在实数k.

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 2 = 0 $.
(1) 当 $ b = a + 4 $ 时,利用根的判别式判断方程根的情况.
(2) 若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 $ a,b $ 的值,并求此时方程的根.

答案：
(1)由题意，得a≠0,b=a+4.
∵Δ=b²-4a×2=(a+4)²-8a=a²+16＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)
∵ax²+bx+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b²-4a×2=b²-8a=0，且a≠0. 满足条件的a,b的值不唯一，满足b²-8a=0(a≠0)即可，例如：令a=2,b=4，则b²-8a=4²-8×2=0，原方程为2x²+4x+2=0，即x²+2x+1=0.
∴(x+1)²=0，解得x₁=x₂=-1.

5. 已知 $ □ ABCD $ 的两边 $ AB,AD $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 $ 的两个实数根.
(1) 当 $ m $ 为何值时,四边形 $ ABCD $ 是菱形?
(2) 如果 $ AB $ 的长为 $ 2 $,那么 $ □ ABCD $ 的周长是多少?
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 $ 的两个实数根 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}＞2,x_{2}＜2 $,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)
∵当□ABCD的两边满足AB=AD时，□ABCD是菱形，
∴关于x的方程x²-mx+m/2-1/4=0有两个相等的实数根.
∴Δ=(-m)²-4(m/2-1/4)=0，解得m₁=m₂=1.
∴m的值为1.
(2)把x=2代入方程x²-mx+m/2-1/4=0，得4-2m+m/2-1/4=0，解得m=5/2.
∴原方程为x²-5/2x+1=0.
∴AB+AD=5/2.
∴□ABCD的周长为2(AB+AD)=2×5/2=5.
(3)根据根与系数的关系，得x₁+x₂=m,x₁x₂=m/2-1/4.
∵x₁＞2,x₂＜2，
∴x₁-2＞0,x₂-2＜0.
∴(x₁-2)(x₂-2)＜0，即x₁x₂-2(x₁+x₂)+4＜0.
∴m/2-1/4-2m+4＜0，解得m＞5/2.