《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

9. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 $ x^2 - 10x + 21 = 0 $ 的两个根，则这个三角形的周长为(C)

A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13

答案： C

10. 方程 $ 9(x + 1)^2 - 4(x - 1)^2 = 0 $ 的正确解法是(C)

A.直接开平方，得 $ 3(x + 1) = 2(x - 1) $
B.化为一般形式 $ 13x^2 + 5 = 0 $
C.因式分解，得 $ [3(x + 1) + 2(x - 1)][3(x + 1) - 2(x - 1)] = 0 $
D.直接得 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 1 = 0 $

答案： C

11. 已知正比例函数 $ y = -\frac{2}{7}x $ 的图象上有一个点 $ M $，点 $ M $ 的横坐标是方程 $ x^2 + 5x - 14 = 0 $ 的根，则点 $ M $ 的纵坐标为2或$-\frac {4}{7}$.

答案： 2或$-\frac {4}{7}$

12. 方程 $ x^2 = |x| $ 的根是0,-1,1.

答案： 0,-1,1

13. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ 9x^2 + 12x + 4 = 4x^2 $.
(2) $ 2(x - 3)^2 = x^2 - 9 $.

答案： 解:
(1)$(3x+2)^{2}=4x^{2},(3x+2)^{2}-4x^{2}=0,(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,(5x+2)(x+2)=0.\therefore 5x+2=0$或$x+2=0$,解得$x_{1}=-\frac {2}{5},x_{2}=-2.$
(2)$2(x-3)^{2}-(x+3)(x-3)=0,(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,(x-3)(x-9)=0.\therefore x-3=0$或$x-9=0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=9.$

14. (教材九上 P14 练习 T2 变式)如图，把小圆形场地的半径增加 6 m 得到大圆形场地，大圆形场地的面积是原来场地的 2 倍. 求小圆形场地的半径.

答案： 解:设小圆形场地的半径为$r\ m$,则大圆形场地的半径为$(r+6)\ m$.由题意,得$π(r+6)^{2}=2πr^{2}$,解得$r_{1}=6+6\sqrt {2},r_{2}=6-6\sqrt {2}＜0$(舍去).
答:小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt {2})\ m.$

【例】将 $ x^2 - 2x - 3 $ 分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图：

所以 $ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $.
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为 $ x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) $.
根据乘法原理：若 $ ab = 0 $，则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $.
依照上面的方法和原理，解下列方程：
(1) $ x^2 + 5x + 6 = 0 $.
(2) $ x^2 - 7x + 10 = 0 $.
(3) $ x^2 - x - 12 = 0 $.
(4) $ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $.
温馨提示：本课时 T7(1)，T9，T11 亦可用此方法求解.

答案： 解:
(1)$(x+2)(x+3)=0.\therefore x+2=0$或$x+3=0.\therefore x_{1}=-2,x_{2}=-3.$
(2)$(x-5)(x-2)=0.\therefore x-5=0$或$x-2=0.\therefore x_{1}=5,x_{2}=2.$
(3)$(x-4)(x+3)=0.\therefore x-4=0$或$x+3=0.\therefore x_{1}=4,x_{2}=-3.$
(4)$(x-1)(3x+1)=0.\therefore x-1=0,3x+1=0.\therefore x_{1}=1,x_{2}=-\frac {1}{3}.$