《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

5. 解方程：
(1) $x^2 - 2x = 3$。
(2) $3x^2 - \sqrt{2}x - \frac{1}{4} = 0$。
(3) $2(x + 1)^2 = x^2 - 1$。

答案： 5.解:
(1)【解法一:配方法】$x^{2}-2x+1=3+1$,即$(x-1)^{2}=4$.$\therefore x-1=\pm 2$.$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.【解法二:十字相乘法】$x^{2}-2x=3$,$x^{2}-2x-3=0$,$(x-3)(x+1)=0$,$\therefore x-3=0$或$x+1=0$.$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.
(2)$\because a=3$,$b=-\sqrt{2}$,$c=-\dfrac{1}{4}$,$\therefore \Delta =(-\sqrt{2})^{2}-4× 3× (-\dfrac{1}{4})=5＞0$.$\therefore x=\dfrac{-(-\sqrt{2})\pm \sqrt{5}}{2× 3}$.$\therefore x_{1}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{6}$,$x_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{6}$.
(3)原方程整理,得$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$,$(x+1)[2x+2-x+1]=0$,$(x+1)(x+3)=0$,$\therefore x+1=0$或$x+3=0$.$\therefore x_{1}=-1$,$x_{2}=-3$.

6. (2024·遵义城关中学月考)阅读以下材料：
解方程：$x^2 - |x| - 2 = 0$。
解：①当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^2 - x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -1$（不合题意，舍去）；
②当 $x ＜ 0$ 时，原方程化为 $x^2 + x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 1$（不合题意，舍去），$x_2 = -2$。
综上所述，原方程的根为 $x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
请仿照以上材料解方程：$x^2 + |x - 1| - 1 = 0$。

答案： 6.解:①当$x-1\geqslant 0$,即$x\geqslant 1$时,原方程化为$x^{2}+x-1-1=0$,$\therefore x^{2}+x-2=0$,即$(x-1)(x+2)=0$.$\therefore x-1=0$或$x+2=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-2$(不合题意,舍去);②当$x-1＜0$,即$x＜1$时,原方程化为$x^{2}+1-x-1=0$,$\therefore x^{2}-x=0$,即$x(x-1)=0$.$\therefore x=0$或$x-1=0$,解得$x_{1}=0$,$x_{2}=1$(不合题意,舍去).综上所述,原方程的根为$x_{1}=1$,$x_{2}=0$.

7. (2023·黔南期末改编)阅读材料：
解方程 $(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$，我们可以将 $x^2 - 1$ 视为一个整体，然后设 $x^2 - 1 = y$，则 $(x^2 - 1)^2 = y^2$，原方程化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$。①
解得 $y_1 = 1$，$y_2 = 4$。
当 $y = 1$ 时，$x^2 - 1 = 1$，$\therefore x^2 = 2$。$\therefore x = \pm \sqrt{2}$；
当 $y = 4$ 时，$x^2 - 1 = 4$，$\therefore x^2 = 5$。$\therefore x = \pm \sqrt{5}$。
$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 = \sqrt{5}$，$x_4 = -\sqrt{5}$。
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想。
请利用上述方法解方程：$x^4 - x^2 - 12 = 0$。

答案： 7.解:令$a=x^{2}$,则原方程可化为$a^{2}-a-12=0$,解得$a=-3$或$a=4$.$\because x^{2}\geqslant 0$,$\therefore x^{2}=4$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.故原方程的解是$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.