《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. (教材九上 P17 习题 T7 变式)不解方程,求下列各方程的两个根$x_1,x_2$之和与$x_1,x_2$之积:
(1)$2x^2 + 5x - 1 = 0$：$x_1 + x_2 =$$-\frac{5}{2}$，$x_1x_2 =$$-\frac{1}{2}$.
(2)$-x^2 + 6x - 2 = 0$：$x_1 + x_2 =$6，$x_1x_2 =$2.
(3)$4x^2 + 1 = 7x$：$x_1 + x_2 =$$\frac{7}{4}$，$x_1x_2 =$$\frac{1}{4}$.
(4)$3x^2 - 1 = 0$：$x_1 + x_2 =$0，$x_1x_2 =$$-\frac{1}{3}$.

答案： 1.
(1)$-\frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)6 2
(3)$\frac{7}{4}$ $\frac{1}{4}$
(4)0 $-\frac{1}{3}$

2. 若$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2$，则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是(A)

A.$x^2 - 3x + 2 = 0$
B.$x^2 + 3x - 2 = 0$
C.$x^2 + 3x + 2 = 0$
D.$x^2 - 3x - 2 = 0$

答案： 2.A

3. 若一个一元二次方程有两个根分别为 3 和 2，请写出一个符合条件的一元二次方程：$x^{2}-5x+6=0$.

答案： 3.$x^{2}-5x+6=0$

4. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 + 2x - k - 1 = 0$的两个根，且$x_1x_2 = -3$，则$k$的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4.B

5. (2023·遂宁)若$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，则代数式$a + b - ab$的值为2.

答案： 2

6. 已知关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的两根为 -3 和 -1，则$p =$4，$q =$3.

答案： 6.4 3

7. 当$m$=-2时，方程$x^2 + (m + 2)x + 2m - 1 = 0$的两根互为相反数.

答案： 7.=-2

8. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 5x - 2 = 0$的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)$x_1^2 + x_2^2$.
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
(3)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$.
(4)$\vert x_1 - x_2\vert$.

答案： 8.解:由题可知$x_{1}+x_{2}=5$,$x_{1}x_{2}=-2$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=$$5^{2}-2×(-2)=29$.
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
(3)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=$$\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5^{2}-2×(-2)}{-2}=-\frac{29}{2}$.
(4)$|x_{1}-x_{2}|=$$\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{5^{2}-4×(-2)}=\sqrt{33}$.

9. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$.
(1)若方程有两个实数根，求$m$的取值范围.
(2)若方程的两个实数根为$x_1$和$x_2$，$x_1x_2 - x_1 - x_2 = \frac{1}{2}$，求$m$的值.

答案： 9.解:
(1)根据题意,得$m≠0$且$\Delta=(-2)^{2}-4m\geq0$,$\therefore m\leq1$且$m≠0$.
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=\frac{2}{m}$,$x_{1}x_{2}=\frac{1}{m}$,$\because x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=\frac{1}{2}$,即$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{1}{m}-\frac{2}{m}=\frac{1}{2}$,解得$m=-2$.

10. (2023·岳阳)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，则$m =$3.

答案： 10.3

11. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 -2 和 -5. 则原来的方程是(B)

A.$x^2 + 6x + 5 = 0$
B.$x^2 - 7x + 10 = 0$
C.$x^2 - 5x + 2 = 0$
D.$x^2 - 6x - 10 = 0$

答案： 11.B