《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，BC 与过点 A 的切线 EF 平行，BC，AD 相交于点 G。
（1）求证：AB = AC。
（2）若 DG = BC = 16，求 AB 的长。

答案： 解：
(1)证明：$\because EF$是$\odot O$的切线，$\therefore DA \perp EF$.$\because BC // EF$，$\therefore DA \perp BC$.$\because DA$是$\odot O$的直径，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.$\therefore AB=AC$.
(2)连接$DB$.$\because BG \perp AD$，$\therefore \angle BGD=\angle BGA=90^{\circ}$.$\because AD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle ABD=90^{\circ}$.$\therefore \angle ABG+\angle DBG=90^{\circ}$，$\angle DBG+\angle BDG=90^{\circ}$.$\therefore \angle ABG=\angle BDG$.$\therefore \triangle ABG \backsim \triangle BDG$.$\therefore \frac{AG}{BG}=\frac{BG}{DG}$，即$BG^{2}=AG \cdot DG$.$\because BC=16$，$BG=GC$，$\therefore BG=8$.$\therefore 8^{2}=16AG$，解得$AG=4$.在$Rt\triangle ABG$中，$BG=8$，$AG=4$，$\therefore AB=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$.

4. (2024·贵州改编)综合与探究：
如图，∠AOB = 90°，点 P 在∠AOB 的平分线上，PA⊥OA 于点 A。
(1)【操作判断】
如图 1，过点 P 作 PC⊥OB 于点 C，根据题意在图 1 中画出 PC，则图中∠APC 的度数为 90 度。
(2)【问题探究】
如图 2，点 M 在线段 AO 上，连接 PM，过点 P 作 PN⊥PM 交射线 OB 于点 N。求证：OM + ON = 2PA。
(3)【拓展延伸】
在(2)的条件下，射线 NM 与射线 PO 相交于点 F。若 ON = 3OM，求$\frac{OP}{OF}$的值。

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答案： 解：
(1)图略. 90
(2)证明：过点$P$作$PC \perp OB$于点$C$.$\because \angle AOB=\angle OAP=\angle OCP=90^{\circ}$，$\therefore$四边形$OAPC$是矩形.$\because$点$P$在$\angle AOB$的平分线上，$PA \perp OA$，$PC \perp OB$，$\therefore PA=PC$.$\therefore$矩形$OAPC$是正方形.$\therefore OA=AP=PC=OC$，$\angle APC=90^{\circ}$.$\because PN \perp PM$，$\therefore \angle APM+\angle MPC=90^{\circ}$，$\angle NPC+\angle MPC=90^{\circ}$.$\therefore \angle APM=\angle NPC$.又$\because \angle MAP=\angle NCP=90^{\circ}$，$AP=CP$，$\therefore \triangle APM \cong \triangle CPN$（ASA）.$\therefore AM=CN$.$\therefore OM+ON=OM+OC+CN=OM+AM+OC=OA+OC=2PA$.
(3)延长$NM$，$PA$交于点$G$.由
(2)知，$OM+ON=2AP$，设$OM=x$，则$ON=3x$，$OA=AP=2x$.$\therefore AM=OA-OM=x=OM$.又$\because \angle MON=\angle MAG=90^{\circ}$，$\angle OMN=\angle AMG$，$\therefore \triangle MON \cong \triangle MAG$（ASA）.$\therefore AG=ON=3x$.$\because AP // OB$，$\therefore \triangle ONF \backsim \triangle PGF$.$\therefore \frac{OF}{PF}=\frac{ON}{PG}=\frac{3x}{3x+2x}=\frac{3}{5}$.$\therefore \frac{PF}{OF}=\frac{5}{3}$.$\therefore \frac{OP}{OF}=\frac{8}{3}$.