《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

12. (2024·遵义期中)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 6x + k - 1 = 0 $.
(1) 如果方程有实数根, 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 如果 $ x_{1}, x_{2} $ 是这个方程的两个根, 且 $ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3x_{1}x_{2} = 24 $, 求 $ k $ 的值.

答案： 解:
(1)$\because$方程有实数根,$\therefore\Delta=(-6)^{2}-4(k-1)\geq0$,解得$k\leq10$.
(2)$\because x_{1},x_{2}$是这个方程的两个根,$\therefore x_{1}+x_{2}=6$,$x_{1}x_{2}=k-1$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2}=24$,$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=24$,即$6^{2}+k-1=24$,解得$k=-11$.

13. 据贵阳市自然资源和规划局公示, 贵阳轨道交通 4 号线从贵阳北出发, 依次为贵阳北—贵阳东—龙洞堡—……—白云区. 从贵阳北到白云区共设计了 156 种往返车票, 这条线路共有多少个站点? 设这条线路共有 $ x $ 个站点, 根据题意, 下列方程正确的是 (B)

A.$ x(x + 1) = 156 $
B.$ x(x - 1) = 156 $
C.$ \frac{1}{2}x(x + 1) = 156 $
D.$ \frac{1}{2}x(x - 1) = 156 $

答案： B

14. (2024·青岛)如图, 某小区要在长为 16 m, 宽为 12 m 的矩形空地上建造一个花坛, 使花坛四周小路的宽度相等, 且花坛所占面积为空地面积的一半, 则小路的宽为 2 m.
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答案： 2

15. 新考向 地域文化 (2024·贵阳南明区月考)摩挪簸箕画, 最早产生于乌当区新堡乡的布依村寨——杜寨. 随着时代的变迁, 簸箕画画风和手法越来越新颖, 显现出“古朴中见平实、浅显中蕴含深刻”的风格. 已知某商店代理销售“簸箕画”平均每天可销售 50 幅, 每幅盈利 22 元, 在每幅降价幅度不超过 6 元的情况下, 每下降 1 元, 则每天可多售 4 幅. 设每幅画降价 $ x $ 元.
(1) 每天售出 (50+4x) 幅画. (用含 $ x $ 的式子表示)
(2) 如果每天要盈利 1 160 元, 那么每幅画应降价多少元?

答案： 解:
(1)$(50+4x)$
(2)由题意,得$(22-x)(50+4x)=1160$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=7.5$.由于每幅画降价幅度不超过6元,故$x=7.5$不符合题意,舍去.$\therefore x=2$.
答:如果每天要盈利1160元,那么每幅画应降价2元.

16. 新考向 数学文化 (2023·贵阳期中)我国古代数学家赵爽(公元 3 - 4 世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法. 以方程 $ x^{2} + 2x - 35 = 0 $ 即 $ x(x + 2) = 35 $ 为例说明, 记载的方法是: 构造图 1, 大正方形的面积是 $ (x + x + 2)^{2} $, 同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积, 即 $ 4 × 35 + 2^{2} $, 因此 $ x = 5 $. 则图 2 是下列哪个方程的几何解法 (A)


A.$ x^{2} - 3x - 10 = 0 $
B.$ x^{2} + 2x - 8 = 0 $
C.$ x^{2} - 4x - 5 = 0 $
D.$ x^{2} + 5x - 6 = 0 $

答案： A

17. 新考向 数学文化 在 20 世纪 70 年代, 我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”, 在全国大规模推广, 取得了重大成果. 如图, 利用黄金分割法, 作 $ EF $ 将矩形窗框 $ ABCD $ 分为上下两部分, 其中 $ E $ 为边 $ AB $ 的黄金分割点, 即 $ BE^{2} = AE \cdot AB $. 已知 $ AB $ 的长为 2 米, 则线段 $ BE $ 的长为 $(\sqrt{5}-1)$ 米.
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答案： $(\sqrt{5}-1)$