《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

12. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，下列说法错误的是(D)


A.$a\lt0$，$b\gt0$
B.$b^{2}-4ac\gt0$
C.方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$
D.不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$0\lt x\lt5$

答案： D

13. 观察下面的表格，一元二次方程$x^{2}-2x = 2$的一个近似解可以是(C)


A.1.93
B.2
C.2.73
D.2.81

答案： C

14. 如图，抛物线$y = -x^{2}+2x + 4$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
(1) 求A，B，C，D四个点的坐标。
(2) 若点$P(m,n)$在抛物线上，当$n\leq4$时，求m的取值范围。

答案： 14.解:
(1)当$y=0$时,$-x^{2}+2x+4=0$,解得$x=1\pm \sqrt {5}.\therefore A(1-\sqrt {5},0),$$B(1+\sqrt {5},0)$.当$x=0$时,$y=-x^{2}+2x+4=4,\therefore C(0,4).\because y=$$-x^{2}+2x+4=-(x-1)^{2}+5,\therefore D(1,5)$.
(2)过点$C(0,4)$作平行于x轴的直线交抛物线$y=-x^{2}+2x+4$于点 E.令$y=4$,则$4=-x^{2}+$$2x+4$,解得$x=0$或$x=2.\therefore E(2,4).\because P(m,n)$在抛物线上,
∴当$n≤$4时,抛物线$y=-x^{2}+2x+4$在直线$y=4$的下方图象上所有点的横坐标的范围为$m≤0$或$m≥2.\therefore m≤0$或$m≥2.$

15. (2024·遵义期中)已知抛物线$y = (x + m)^{2}-(x + m)$，其中m是常数，该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 将该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？

答案： 15.解:
(1)$y=(x+m)^{2}-(x+m)=x^{2}+(2m-1)x+m^{2}-m$.
∵该抛物线的对称轴为直线$x=\frac {3}{2},\therefore x=-\frac {b}{2a}=-\frac {2m-1}{2}=\frac {3}{2}.\therefore m=-1.\therefore y$$=(x-1)^{2}-(x-1)=x^{2}-3x+2$,即该抛物线的解析式为$y=x^{2}-3x$+2.
(2)设该抛物线沿 y 轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线的解析式为$y=x^{2}-3x+2+$k.
∵抛物线与x轴只有一个公共点,$\therefore △=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2+k)$$=0.\therefore k=\frac {1}{4}$.
∴将抛物线沿 y 轴向上平移$\frac {1}{4}$个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点.