《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

12. (2023·衡阳)已知关于$x$的方程$x^2 + mx - 20 = 0$的一个根是 -4，则它的另一个根是5.

答案： 5

13. 若一元二次方程$2x^2 - 3x - 6 = 0$的两个根为$m,n$，则$m^2 + n^2$的值是$\frac{33}{4}$.

答案： 13.$\frac{33}{4}$

14. (2023·乐山改编)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 8x + m = 0$的两个根为$x_1,x_2$，且$x_1 = 3x_2$，则$m$的值为12.

答案： 14.12

15. (2023·襄阳)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若方程的两个根为$\alpha,\beta$，且$k^2 = \alpha\beta + 3k$，求$k$的值.

答案： 15.解:
(1)$\because$方程有两个不相等的实数,$\therefore \Delta＞0$,即$2^{2}-4×1×(3-k)=$$-8+4k＞0$.$\therefore k＞2$.
(2)根据题意,得$\alpha\beta=3-k$.$\therefore k^{2}=3-k+3k$,解得$k_{1}=3$,$k_{2}=-1$.$\because k＞2$,$\therefore k$的值为3.

1. (2024·毕节金沙县期中)若$a,b$是方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的两根，则$2a - ab + 2b =$()

A.-2030
B.2030
C.-2018
D.2018

答案： D

2. (2024·黔东南榕江县二模)已知$a,b$是方程$x^2 + 3x - 2 = 0$的两个根，则$a^2b + ab^2 + 3ab$的值是.

答案： 0

3. (2024·贵阳小碧中学二模)设$a,b$是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个不相等的实数根，则$a^2 + 2a + b$的值为2022.

答案： 3.2022

4. (2024·遵义播州区二模)已知实数$a,b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，则代数式$b^2 + b - a$的值为5.

答案： 5

5. 阅读材料，解答问题.
材料一：已知实数$a,b(a \neq b)$满足$a^2 + 5a - 1 = 0$，$b^2 + 5b - 1 = 0$，则可将$a,b$看作一元二次方程$x^2 + 5x - 1 = 0$的两个不等实数根.
材料二：已知$x^2 + 5x - 2 = 0$，求$x - \frac{2}{x}$的值.
某同学解答思路如下：
由$x^2 + 5x - 2 = 0$可得$x + 5 - \frac{2}{x} = 0$，
所以$x - \frac{2}{x} = -5$.
(1)直接应用：已知实数$a,b(a \neq b)$满足$a^2 - 7a - 2 = 0$，$b^2 - 7b - 2 = 0$，求$a + b - ab$的值.
(2)间接运用：已知实数$m,n$满足$3m^2 - 7m - 2 = 0$，$2n^2 + 7n - 3 = 0$，且$mn \neq 1$，求$\frac{mn + 1}{mn + m + 1}$的值.

答案： 5.解:
(1)$\because$实数$a$,$b(a≠b)$满足$a^{2}-7a-2=0$,$b^{2}-7b-2=0$,$\therefore$可将$a$,$b$看作一元二次方程$x^{2}-7x-2=0$的两个不相等的实数根.$\therefore a+b=7$,$ab=-2$.$\therefore a+b-ab=7-(-2)=9$.
(2)在方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$得$3(\frac{1}{n})^{2}-7\frac{1}{n}-2=0$,又$\because$实数$m$满足$3m^{2}-7m-2$$=0$,且$mn≠1$,$\therefore$可将$m$,$\frac{1}{n}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根.$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{3}$,$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$.$\therefore \frac{mn+1}{mn+m+1}=\frac{m+\frac{1}{n}}{m+\frac{1}{n}+\frac{m}{n}}$$=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}-\frac{2}{3}}=\frac{7}{5}$.