《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

【例】二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = 1 $，根据函数图象用“$ ＞ $”“$ ＜ $”“$ \geqslant $”“$ \leqslant $”或“$ = $”填空.

(1)根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
① $ a $＜ $ 0 $，$ b $＞ $ 0 $，$ c $＞ $ 0 $；
(2)$ b^{2}-4ac $ 类：
② $ b^{2}-4ac $＞ $ 0 $；
(3)$ -\dfrac{b}{2a},2a + b $ 类：
③ $ -\dfrac{b}{2a} $＞ $ 0 $；④ $ 2a + b $= $ 0 $；
(4)当 $ x = \pm1,\pm2 $ 类：
⑤ $ a + b + c $＞ $ 0 $；$ a - b + c $＜ $ 0 $；
⑥ $ 4a + 2b + c $＞ $ 0 $；$ 4a - 2b + c $＜ $ 0 $；
(5)最值：
⑦ $ a + b + c $≥ $ am^{2}+bm + c $($ m $ 为任意实数).

答案： （1）＜ ＞ ＞ （2）＞ （3）＞ = （4）＞ ＜ ＞ ＜ （5）≥

1. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是(D)

A.$ a ＜ 0 $
B.$ c ＞ 0 $
C.$ -\dfrac{b}{2a} ＞ 1 $
D.$ a + b + c ＜ 0 $

答案： D

2. (2024·遵义汇川区期末)如图，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A,B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，对称轴为直线 $ x = -1 $.若点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $，则下列结论正确的是(C)

A.$ 2a + b = 0 $
B.$ 4a - 2b + c ＞ 0 $
C.$ x = 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的一个根
D.点 $ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) $ 在抛物线上，当 $ x_{1} ＞ x_{2} ＞ -1 $ 时，$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ 0 $

答案： C

3. (2024·东营)已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D)

A.$ abc ＜ 0 $
B.$ a - b = 0 $
C.$ 3a - c = 0 $
D.$ am^{2}+bm\leqslant a - b $($ m $ 为任意实数)

答案： D

4. (2024·遵义期中)如图，已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ (-3,0) $，顶点是 $ (-1,m) $，则以下结论：
① $ abc ＜ 0 $；
② $ a + b + c = 0 $；
③若 $ y\leqslant c $，则 $ -2\leqslant x\leqslant0 $；
④ $ a + c = \dfrac{1}{2}m $.
其中正确的有(D)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： D

5. (2021·遵义)抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a,b,c $ 为常数，$ a ＞ 0) $ 经过 $ (0,0),(4,0) $ 两点.则下列四个结论正确的有①③④(填序号).
① $ 4a + b = 0 $；② $ 5a + 3b + 2c ＞ 0 $；③若该抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与直线 $ y = -3 $ 有交点，则 $ a $ 的取值范围是 $ a\geqslant\dfrac{3}{4} $；④对于 $ a $ 的每一个确定值，如果一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c - t = 0(t $ 为常数，$ t\leqslant0) $ 的根为整数，那么 $ t $ 的值只有 3 个.

答案： ①③④