《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. (2023·黔西南期中)如图，以四边形 ABCD 的对角线 BD 为直径作圆，圆心为点 O，过点 A 作 AE⊥CD 的延长线于点 E，已知 DA 平分∠BDE。
(1)求证：AE 是⊙O 的切线。
(2)若 AE = 4，CD = 6，求⊙O 的半径和 AD 的长。

答案： 解:
(1)证明:连接OA.
∵AE⊥CD,
∴∠DAE+∠ADE=90°.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ADE=∠ADO.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO.
∴∠DAE+∠OAD=90°,即∠OAE=90°.又
∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O的切线.
(2)作OF⊥CD于点F,则DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=3,四边形AEFO是矩形.
∴OF=AE=4,AO=EF.
∴OD=$\sqrt{O{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5.
∴AO=EF=5.
∴ED=EF-DF=2.
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∴⊙O的半径为5,AD的长是2$\sqrt{5}$.

12. (2023·聊城改编)如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC 的内心，连接 OB，IA。若∠CAI = 35°，则∠OBC 的度数为20°。

答案： 20°

13. 如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的内切圆，点 M，N，F 分别是边 AE，AB，CD 与⊙O 的切点，则∠MFN 的度数为(B)

A.25°
B.36°
C.35°
D.40°

答案： B

14. (2024·黔东南从江县二模)将一个半径为 1 的圆形纸片按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为(A)


A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\pi$

答案： A

15. (2022·黔西南)如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线交于点 O，以 OC 为半径的扇形的圆心角∠FOH = 90°，则图中阴影部分面积是2π-4。

答案： 2π-4

16. 阅读以下材料，并完成相应的任务：


任务：
(1)上述证明过程中的“依据 1”“依据 2”分别是指什么？
依据 1：切线的性质；
依据 2：直径所对的圆周角是直角。
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分。
(3)若图中⊙O 的半径为 2，弦切角∠CAB = 30°，直接写出 AC 的长。

答案： 解:
(1)切线的性质；直径所对的圆周角是直角
(2)
∵∠E=∠CAB.
∵∠E=∠D,
∴∠CAB=∠D.
(3)
∵弦切角∠CAB=30°,
∴∠D=∠CAB=30°.
∴∠E=∠D=30°.在Rt△AEC中,AE=2×2=4,
∴AC=$\frac{1}{2}$AE=2.