《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. (2024·遵义期中)国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为 2000 元，该影院每天售出的电影票数量 $ y $ (张)与售价 $ x $ (元/张)之间满足一次函数关系 $ (30 \leq x \leq 80 $，且 $ x $ 是整数)，部分数据如下表所示：

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 设该影院每天的利润 (利润 $ = $ 票房收入 $ - $ 运营成本) 为 $ w $ (元)，该影院将电影票售价 $ x $ 定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？

答案： 1. 解:
(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b. 把(40,160),(50,120)代入 y=kx+b,得{160=40k+b,120=50k+b,解得{k=-4,b=320.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-4x+320.
(2)由题意,得 w=xy-2000=x(-4x+320)-2000=-4(x-40)²+4400.
∵-4＜0,30≤x≤80,
∴当 x=40 时,w 有最大值,w最大=4400.
答:该影院将电影票售价 x 定为 40 时,每天获利最大,最大利润是 4400 元.

2. (2023·黔东南从江县期中)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 $ P $ 距地面 $ 0.7 \, m $，水柱在距喷水头 $ P $ 水平距离 $ 5 \, m $ 处达到最高，最高点距地面 $ 3.2 \, m $，建立如图所示的平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ x \, (m) $ 是水柱距喷水头的水平距离，$ y \, (m) $ 是水柱距地面的高度.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 $ P $ 水平距离 $ 3 \, m $. 身高 $ 1.6 \, m $ 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

答案： 2. 解:
(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3.2),
∴抛物线的解析式为 y=a(x-5)²+3.2,将(0,0.7)代入,得 0.7=25a+3.2,解得 a=-1/10.
∴y=-1/10(x-5)²+3.2=-1/10x²+x+7/10.
(2)当 y=1.6 时,-1/10x²+x+7/10=1.6,解得 x₁=1,x₂=9.
∴她与爸爸的水平距离为 3-1=2(m)或 9-3=6(m).
答:当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离是 2 m 或 6 m.

3. 新考向 真实情境 (2023·贵州节选) 如图 1，这是一座抛物线型拱桥. 小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分 (如图 2 所示)，抛物线的顶点在 $ C $ 处，对称轴 $ OC $ 与水平线 $ OA $ 垂直，$ OC = 9 $，点 $ A $ 在抛物线上，且点 $ A $ 到对称轴的距离 $ OA = 3 $，点 $ B $ 在抛物线上，点 $ B $ 到对称轴的距离是 1.
(1) 求抛物线的解析式.


(2) 如图 2，为更加稳固，小星想在 $ OC $ 上找一点 $ P $，加装拉杆 $ PA $，$ PB $，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $ P $ 的位置并求出坐标.

答案： 3. 解:
(1)设抛物线的解析式为 y=ax²+9.把点 A(3,0)代入,得 9a+9=0,解得 a=-1.
∴抛物线的解析式为 y=-x²+9.
(2)作点 A 关于 y 轴的对称点 A'(-3,0),连接 A'B 交 OC 于点 P,则点 P 即为所求.把 x=1 代入 y=-x²+9,得 y=8.
∴B(1,8).设直线 A'B 的解析式为 y=kx+m.则{-3k+m=0,k+m=8,解得{k=2,m=6.
∴y=2x+6.当 x=0 时,y=6,
∴点 P 的坐标为(0,6).