《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

5. (2022·黔东南改编)如图,抛物线 $ y = ax^2 + 2x + c $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)已知D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DM⊥x轴,垂足为M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 5.解:
(1)
∵抛物线y=ax²+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),
∴A(-1,0).
∴$\begin{cases}a-2+c=0,\\9a+6+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=3.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3.
(2)在y=-x²+2x+3中,令x=0,得y=3.
∴C(0,3).设直线BC的解析式为y=kx+3.将点B(3,0)代入,得0=3k+3,解得k=-1.
∴直线BC的解析式为y=-x+3.设点D(t,-t²+2t+3),则点N(t,-t+3).
∵A(-1,0),C(0,3),
∴AC²=1²+3²=10,AN²=(t+1)²+(-t+3)²=2t²-4t+10,CN²=t²+(3-t+3)²=2t².①当AC=AN时,AC²=AN².
∴10=2t²-4t+10,解得t1=2,t2=0(不合题意,舍去).
∴点D的坐标为(2,3).②当AC=CN时,AC²=CN².
∴10=2t²,解得t1=$\sqrt{5}$,t2=-$\sqrt{5}$(不合题意,舍去).
∴点D的坐标为($\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$-2).③当AN=CN时,AN²=CN².
∴2t²-4t+10=2t²,解得t=$\frac{5}{2}$.
∴点D的坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{7}{4}$).综上所述,存在,点D的坐标为(2,3)或($\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$-2)或($\frac{5}{2}$,$\frac{7}{4}$).

6. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若M为抛物线对称轴上的点,抛物线上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

答案： 6.解:
(1)把A(-3,-4),B(0,-1)代入y=x²+bx+c,得$\begin{cases}9-3b+c=-4,\\c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=4,\\c=-1.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=x²+4x-1.
(2)抛物线上存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形.理由如下:
∵y=x²+4x-1=(x+2)²-5,
∴抛物线y=x²+4x-1的对称轴为直线x=-2.设M(-2,m),N(n,n²+4n-1).①当MN,AB为对角线时,MN,AB的中点重合,
∴$\begin{cases}-2+n=-3+0,\\m+n²+4n-1=-4-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=-1.\end{cases}$
∴N(-1,-4);②当MA,NB为对角线时,MA,NB的中点重合,
∴$\begin{cases}-2-3=n+0,\\m-4=n²+4n-1-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=7,\\n=-5.\end{cases}$
∴N(-5,4);③当MB,NA为对角线时,MB,NA的中点重合.
∴$\begin{cases}-2+0=n-3,\\m-1=n²+4n-1-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=1.\end{cases}$
∴N(1,4).综上所述,点N的坐标为(-1,-4)或(-5,4)或(1,4).