《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. 新考向 真实情境 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头. 卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 $ OA $ 约为 22 米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 $ y = -\frac{13}{121}(x - 11)^2 + k $. 主桥拱最高点 $ P $ 与其在水中倒影 $ P' $ 之间的距离为D米(D)


A.11
B.13
C.22
D.26

答案： D

2. 如图所示，公路隧道的截面为抛物线形，线段 $ OA $ 表示水平的路面，以点 $ O $ 为坐标原点， $ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴，以过点 $ O $ 垂直于 $ x $ 轴的直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系. 若 $ OA = 10\ m $，抛物线的顶点 $ P $ 到 $ OA $ 的距离为 $ 9\ m $，则抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{9}{25}(x - 5)^{2}+9$.

答案： $y=-\dfrac{9}{25}(x - 5)^{2}+9$

3. (2024·黔南期末) 排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多. 从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力. 从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过. 如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度 $ AB = 4\ m $，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 3 $.
(1) 求此时水面的最大高度.
(2) 若水面上升 $ 0.5\ m $，则水面宽度将增加多少米？

答案： 解:
(1)当$AB = 4$时，点$A$的横坐标为$-2$，则点$A$的纵坐标为$y=\dfrac{1}{2}×(-2)^{2}-3=-1$.$\therefore$此时水面的最大高度为$(-1)-(-3)=2(\mathrm{m})$.
(2)若水面上升$0.5\mathrm{m}$，设水面宽度为$A'B'$，则点$A'$的纵坐标为$-\dfrac{1}{2}$.$\therefore\dfrac{1}{2}x^{2}-3=-\dfrac{1}{2}$，解得$x_{1}=\sqrt{5}$，$x_{2}=-\sqrt{5}$.$\therefore A'B' = 2\sqrt{5}$.$\therefore$水面宽度将增加$(2\sqrt{5}-4)\mathrm{m}$.

4. (2021·黔西南) 小华酷爱足球运动. 一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度 $ h(m) $ 与足球被踢出后经过的时间 $ t(s) $ 之间的关系为 $ h = -5t^2 + 12t $，则足球距地面的最大高度是7.2m.

答案： 7.2

5. 双手正面掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，图 1 所示的是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数关系如图 2 所示，掷出时起点高度为 $ 2\ m $，当水平距离为 $ 5\ m $ 时，实心球行进至最高点 $ 4\ m $ 处.

(1) 求抛物线的解析式.
(2) 根据该市中考体育考试评分标准 (男生 $ 10.30\ m $)，即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于 $ 10.30\ m $，此项考试得分为满分 10 分. 该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由. ($ \sqrt{2} \approx 1.4 $)

答案： 解:
(1)设抛物线的解析式为$y=a(x - 5)^{2}+4$.将点$(0,2)$代入，得$2 = 25a + 4$，解得$a=-\dfrac{2}{25}$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{2}{25}(x - 5)^{2}+4$.
(2)该男生在此项考试中得满分.理由:令$y = 0$，则$-\dfrac{2}{25}(x - 5)^{2}+4 = 0$，解得$x_{1}=5 - 5\sqrt{2}$(舍去)，$x_{2}=5 + 5\sqrt{2}$.$\because5 + 5\sqrt{2}\approx12＞10.30$，$\therefore$该男生在此项考试中得满分.