《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

10. (2022·黔西南)如图所示的是一名男生推铅球时,铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系,铅球行进高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的关系是 $ y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} $,则铅球推出的水平距离 $ OA $ 的长是10m.

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答案： 10

11. (2024·贵州)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量 $ y $(盒)与销售单价 $ x $(元)是一次函数关系,下表是 $ y $ 与 $ x $ 的几组对应值.

(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式.
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $ m $ 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)设$y=kx+b(k≠0)$.$\therefore \left\{\begin{array}{l} 12k+b=56,\\ 14k+b=52,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=80.\end{array}\right. \therefore y=-2x+80$.
(2)设日销售利润为w元.则$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^{2}+100x-800=-2(x-25)^{2}+450$.$\because -2＜0,x≥10$,$\therefore$当$x=25$时,w有最大值450.
答:糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元.
(3)设赠送礼品后的日销售利润为$w'$元,则$w'=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^{2}+(100+2m)x-800-80m=-2(x-\frac {m+50}{2})^{2}+\frac {1}{2}m^{2}-30m+450$.$\because$最大利润为392元,$\therefore$当$x=\frac {m+50}{2}$时,$\frac {1}{2}m^{2}-30m+450=392$,整理,得$m^{2}-60m+116=0$,解得$m_{1}=2,m_{2}=58$.当$m=58$时,$x=\frac {58+50}{2}=54$,此时每盒糖果的利润为$54-10-58=-14$(元),不符合题意,舍去;当$m=2$时,$x=\frac {2+50}{2}=26$,此时每盒糖果的利润为$26-10-2=14$(元),符合题意.$\therefore m$的值为2.

12. 新考向 传统文化 如图 1 所示的是古代的一种远程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载:“飞石重二十斤,为机发,行三百步”,其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.在如图 2 所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡 $ OA $ 的底部(原点 $ O $ 处),石块从投石机竖直方向上的点 $ C $ 处被投出,在斜坡上的点 $ A $ 处建有垂直于水平面的城墙 $ AB $.已知,石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 $ (50,25) $,$ OC = 5 $, $ OD = 75 $,$ AD = 12 $,$ AB = 9 $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙 $ AB $.
(3)分别求出 $ 0 \leq x \leq 37.5 $ 和 $ 37.5 ＜ x \leq 75 $ 时,石块与斜坡 $ OA $ 在竖直方向上的最大距离.

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y=a(x-50)^{2}+25$,把$(0,5)$代入,得$2500a+25=5$,解得$a=-\frac {1}{125}$.$\therefore y=-\frac {1}{125}(x-50)^{2}+25=-\frac {1}{125}x^{2}+\frac {4}{5}x+5$.
(2)石块不能飞越防御墙AB.理由如下:把$x=75$代入$y=-\frac {1}{125}(x-50)^{2}+25$,得$y=20$.$\because 20＜12+9$,$\therefore$石块不能飞越城墙AB.
(3)设直线OA的解析式为$y=kx$,把$(75,12)$代入,得$k=\frac {4}{25}$.$\therefore$直线OA的解析式为$y=\frac {4}{25}x$.过抛物线上的点M作$MN⊥x$轴交OA于点N.设$M(m,-\frac {1}{125}m^{2}+\frac {4}{5}m+5)$,则$N(m,\frac {4}{25}m)$.$\therefore MN=-\frac {1}{125}m^{2}+\frac {16}{25}m+5=-\frac {1}{125}(m-40)^{2}+\frac {89}{5}$.$\because -\frac {1}{125}＜0$,$\therefore$当$m＜40$时,MN随m的增大而增大,若$0≤x≤37.5$,则当$m=37.5$时,MN最大为$\frac {71}{4}$;若$37.5＜x≤75$,则当$m=40$时,MN最大为$\frac {89}{5}$.$\therefore$当$0≤x≤37.5$时,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为$\frac {71}{4}$;当$37.5＜x≤75$时,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为$\frac {89}{5}$.