《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. (2024·河南) 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$OC$的中点，$EF// AB$交$BC$于点$F$。若$AB = 4$，则$EF$的长为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： 11.B

12. 如图，将$\triangle ABC$沿着$DE$剪成一个小三角形$ADE$和一个四边形$D'E'CB$。若$DE// BC$，四边形$D'E'CB$各边的长度如图所示，则剪出的小三角形$ADE$应是(C)

答案： 12.C

13. 如图，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上一点，连接$AD$，过$AD$上的点$E$作$EF// BD$，交$AB$于点$F$，过点$F$作$FG// AC$，交$BC$于点$G$，已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，$BG = 4$。
(1) 求$CG$的长。
(2) 若$CD = 2$，在上述条件和结论下，求$EF$的长。

答案： 13.解:
(1)
∵$EF// BD$,
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$.
∵$FG// AC$,
∴$\frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$.
∵$BG=4$,
∴$CG=6$.
(2)
∵$CD=2$,$CG=6$,
∴$DG=CG-CD=4$.
∵$BG=4$,
∴$BD=BG+DG=8$.
∵$\frac{AF}{BF}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{3}{5}$.
∵$EF// BD$,
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AB}$,即$\frac{EF}{8}=\frac{3}{5}$.
∴$EF=\frac{24}{5}$.

如图，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$的边$BC$，$AC$上的点，$BD:CD = 2:5$，连接$AD$，$BE$，交点为$F$，$DF:AF = 1:4$，求$\frac{CE}{AE}$的值。

答案： 【例】解:解法一(构造A型):过点D作$DG// BE$,交AC于点G.则$BD:CD=EG:GC=2:5$.
∴$CG=\frac{5}{2}EG$,$CE=CG+EG=\frac{7}{2}EG$.
∵$DF:AF=EG:AE=1:4$,
∴$AE=4EG$.
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{7}{2}EG}{4EG}=\frac{7}{8}$.解法二(构造8字型):过点D作$HD// AC$,与BE交于点H.
∴$\triangle BDH\backsim \triangle BCE$,$\triangle HFD\backsim \triangle EFA$.
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DH}{CE}$,$\frac{DH}{AE}=\frac{DF}{AF}$.
∵$BD:CD=2:5$,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{7}$.
∴$CE=\frac{7}{2}DH$.
∵$DF:AF=1:4$,
∴$AE=4DH$.
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{7}{2}DH}{4DH}=\frac{7}{8}$.

如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线。
(1) 若$E$为$AD$的中点，射线$CE$交$AB$于点$F$，则$\frac{AF}{BF}$的值为$\frac{1}{2}$。
(2) 若$E$为$AD$上的一点，且$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{k}$，射线$CE$交$AB$于点$F$，则$\frac{AF}{BF}$的值为$\frac{1}{2k}$。

答案： 针对训练
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{1}{2k}$