《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. 如图，将一个直角的顶点 P 放在矩形 ABCD 的对角线 BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A，另一条直角边与边 BC 相交于点 E。若 AD = 8，DC = 6，则$\frac{AP}{PE}$ = $\frac{4}{3}$ 。

答案： $\frac{4}{3}$

12. 如图，点 E，F，G 分别在正方形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AF⊥EG。若 AB = 5，AE = DG = 1，则 BF = $\frac{5}{4}$ 。

答案： $\frac{5}{4}$

13. 如图，E 是矩形 ABCD 的边 CB 的中点，AF⊥DE 于点 F，AB = 3，AD = 2。
（1）求证：△AFD∽△DCE。
（2）求线段 AF 的长。

答案： 解：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore DC=AB=3$，$AD=BC=2$，$\angle C=\angle CDA=90^{\circ}$.$\therefore \angle CDE+\angle DEC=90^{\circ}$，$\angle ADF+\angle CDE=90^{\circ}$.$\therefore \angle ADF=\angle DEC$.$\because AF \perp DE$，$\therefore \angle AFD=\angle C=90^{\circ}$.$\therefore \triangle AFD \backsim \triangle DCE$.
(2)$\because E$是$CB$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=1$.在$Rt\triangle DCE$中，$DE=\sqrt{DC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$.$\because \triangle AFD \backsim \triangle DCE$，$\therefore \frac{AF}{DC}=\frac{AD}{DE}$.$\therefore AF=\frac{AD \cdot DC}{DE}=\frac{2 × 3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

1. (2024·重庆 A 卷)如图，在△ABC 中，延长 AC 至点 D，使 CD = CA，过点 D 作 DE//CB，且 DE = DC，连接 AE 交 BC 于点 F。若∠CAB = ∠CFA，CF = 1，则 BF = 3 。

答案： 3

2. 如图，△ABC 为等边三角形，点 D 在线段 CB 的延长线上，点 E 在线段 AC 的延长线上，连接 AD，DE，∠ADE = ∠ABC。
（1）求证：△ADB∽△DEC。
（2）若 BC = 4，DB = 2，求 EC 的长。

答案： 解：
(1)证明：$\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$.$\therefore \angle ABD=\angle DCE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.$\because \angle ADB+\angle CDE=\angle ADE=\angle ABC=60^{\circ}$，$\angle CDE+\angle E=\angle ACB=60^{\circ}$，$\therefore \angle ADB=\angle E$.$\therefore \triangle ADB \backsim \triangle DEC$.
(2)$\because BC=4$，$DB=2$，$\therefore DC=BC+DB=6$.$\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore AB=BC=4$.由
(1)知，$\triangle ADB \backsim \triangle DEC$，$\therefore \frac{DB}{EC}=\frac{AB}{DC}$，即$\frac{2}{EC}=\frac{4}{6}$.$\therefore EC=3$.