《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

【例】【一题多设问】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m + 1 = 0 $.
(1) 求证:无论 $ m $ 取何值,方程总有两个实数根.
(2) 如果当 $ m = 3 $ 时,$ \alpha,\beta $ 为方程的两个根,求 $ \alpha^{2}-4\alpha+\beta $ 的值.
(3) 若方程有一个根小于 $ -1 $,求 $ m $ 的取值范围.
(4) 若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍,求 $ m $ 的值.
(5) 若该方程的两根分别是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为 $ 5 $ 时,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)证明：
∵Δ=[-(m+2)]²-4×1×(m+1)=m²+4m+4-4m-4=m²≥0，
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根.
(2)当m=3时，方程为x²-5x+4=0.
∵α,β为方程的两个根，
∴α²-5α=-4,α+β=5.
∴α²-4α+β=α²-5α+α+β=-4+5=1.
(3)
∵x²-(m+2)x+m+1=(x-1)(x-m-1)=0，
∴x₁=1,x₂=m+1.
∵方程有一根小于-1，
∴m+1＜-1，解得m＜-2.
(4)由
(3)得，x₁=1,x₂=m+1.
∵方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，
∴m+1=2或m+1=1/2，解得m=1或m=-1/2.
(5)由
(3)得，x₁=1,x₂=m+1.
∵x₁²+x₂²=5²，
∴1+(m+1)²=25，解得m₁=-2√6-1,m₂=2√6-1.
∵x₂＞0，
∴m+1＞0.
∴m＞-1.
∴m的值为2√6-1.

1. (2024·南充)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 若 $ k ＜ 5 $,且 $ k,x_{1},x_{2} $ 都是整数,求 $ k $ 的值.

答案：
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0，解得k＞1.
(2)
∵1＜k＜5，
∴整数k的值可以为2,3,4. 当k=2时，方程为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3. 当k=3或k=4时，方程的解不为整数. 综上所述，k的值为2.

2. (2023·贵阳高峰中学月考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x + k - 2 = 0 $.
(1) 求证:无论 $ k $ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2) 若该方程的两个实数根 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}-x_{2}=-2k + 3 $,求 $ k $ 的值.

答案：
(1)证明：
∵Δ=[-(2k+1)]²-4×1×(k-2)=4k²+4k+1-4k+8=4k²+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系，得x₁+x₂=2k+1,x₁x₂=k-2.
∵x₁-x₂=-2k+3，
∴(x₁-x₂)²=4k²-12k+9.
∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4k²-12k+9.
∴(2k+1)²-4(k-2)=4k²-12k+9，解得k=0.