《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

4. 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA = 3，PB = 4，PC = 5，求∠APB 的度数。
小伟是这样思考的：如图 2，利用旋转和全等的知识构造△AP'C，连接 PP'，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决。
参考小伟同学的方法，解决下列问题。
(1)图 1 中∠APB 的度数为150°。



(2)如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA = 2√2，PB = 1，PD = √17，求∠APB 的度数以及正方形 ABCD 的边长。

答案： 4.
(1)150°
(2)把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP',连接PP'.由旋转的性质,得P'A=PA=2$\sqrt {2}$,P'D=PB=1,∠PAP'=90°,∠AP'D=∠APB,
∴△APP'是等腰直角三角形.
∴PP'=$\sqrt {2}$PA=4,∠AP'P=45°.
∵PP'²+P'D²=4²+1²=17,PD²=($\sqrt {17}$)²=17,
∴PP'²+P'D²=PD².
∴∠PP'D=90°.
∴∠AP'D=∠AP'P+∠PP'D=45°+90°=135°.
∴∠APB=∠AP'D=135°.
∴∠APP'+∠APB=180°,即P',P,B三点共线.过点A作AE⊥PP',则AE=EP=2,BE=1+2=3.在Rt△AEB中,AB=$\sqrt {AE^{2}+EB^{2}}=\sqrt {13}$.
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt {13}$.

【例】(2024·黔西南兴仁市月考改编)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，BC = 3，D 是边 BC 上的一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AE，连接 CE。在点 D 运动过程中，求线段 CE 长度的最小值。
解法 1：【思路点拨】

由题意，得∠DAE = ∠BAC = 60°，AD = AE。从而可在 AB 上截取 AF = AC，构造△ACE 与△AFD 全等，便可以得到 CE = FD，进而求 FD 的最小值即可得解。
第一步，作辅助线：在 AB 上截取 AF = AC。
第二步，证明：利用“SAS”证明△ACE ≌ △AFD，则 CE = FD，则 CE 的最小值即为 FD 的最小值。根据垂线段最短，当 FD ⊥ BC 时，FD 最短。
第三步，计算：∠B = 30°，BC = 3，根据勾股定理，得 AC = $\sqrt {3}$，AB = 2$\sqrt {3}$。∴ BF = $\sqrt {3}$。又∵ ∠B = 30°，∴ FD 的最小值为$\frac {\sqrt {3}}{2}$。∴线段 CE 长度的最小值为$\frac {\sqrt {3}}{2}$。
解法 2：在射线 AC 上截取 AG = AB，易证△ABD ≌ △AGE(SAS)。则∠B = ∠G = 30°，从而点 E 在直线 GA 绕点 G 顺时针旋转 30°得到的直线上运动，则由垂线段最短可得，当∠CEG = 90°时，CE 最短，由解法 1 易得 CG = $\sqrt {3}$，则 CE 的最小值为$\frac {\sqrt {3}}{2}$。

方法总结

答案： SAS 垂线段 $\sqrt {3}$ 2$\sqrt {3}$ $\sqrt {3}$ $\frac {\sqrt {3}}{2}$ $\frac {\sqrt {3}}{2}$ 90° $\sqrt {3}$ $\frac {\sqrt {3}}{2}$

(2024·六盘水期末)如图，在边长为 15 的等边三角形 ABC 中，M 是高 AH 上的一个动点，连接 BM，同时将线段 BM 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BN，连接 HN，则在点 M 运动的过程中，线段 HN 长度的最小值是$\frac {15}{4}$。

答案： $\frac {15}{4}$