《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. (2023·遵义红花岗区模拟)如图，反比例函数 $ y = \frac{8}{x} $ 的图象与一次函数图象 $ y = kx - 5 $（$ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $）的图象相交于 $ A $，$ B(-2,m) $ 两点.
(1)求一次函数的解析式.
(2)若将直线 $ AB $ 向上平移 $ n(n ＞ 0) $ 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求 $ n $ 的值.

答案： 1.解:
(1)把B(-2,m)代入y=8/x,得m=8/(-2)=-4,
∴B(-2,-4).把B(-2,-4)代入y=kx-5,得-2k-5=-4,解得k=-1/2.
∴一次函数的解析式为y=-1/2x-5.
(2)将直线AB向上平移n(n＞0)个单位长度得到的直线的解析式为y=-1/2x-5+n,联立{y=8/x,y=-1/2x-5+n,得8/x=-1/2x-5+n.整理,得1/2x²+(5-n)x+8=0.由题意,得Δ=(5-n)²-4×1/2×8=0.解得n=9或n=1.
∴n的值为1或9.

解决反比例函数与一次函数交点个数问题，应联立反比例函数与一次函数解析式，构造一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断交点情况，具体如下：①当 $ \Delta ＞ 0 $ 时，反比例函数与一次函数图象有两个交点；②当 $ \Delta = 0 $ 时，反比例函数与一次函数图象有且只有一个交点；③当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，反比例函数与一次函数图象没有交点.

答案： 答题（答题卡内容如下）：
设反比例函数为 $y = \frac{k_1}{x}$（$k_1 \neq 0$），一次函数为 $y = k_2x + b$（$k_2 \neq 0$）。
联立两函数解析式，得：
$\frac{k_1}{x} = k_2x + b$，
整理得：
$k_2x^2 + bx - k_1 = 0$，
根据一元二次方程根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，其中 $a = k_2$，$b = b$，$c = -k_1$，得：
$\Delta = b^2 - 4k_2(-k_1) = b^2 + 4k_1k_2$，
① 当 $\Delta ＞ 0$ 时，即 $b^2 + 4k_1k_2 ＞ 0$，反比例函数与一次函数图象有两个交点；
② 当 $\Delta = 0$ 时，即 $b^2 + 4k_1k_2 = 0$，反比例函数与一次函数图象有且只有一个交点；
③ 当 $\Delta ＜ 0$ 时，即 $b^2 + 4k_1k_2 ＜ 0$，反比例函数与一次函数图象没有交点。

2. (2024·凉山州)如图，正比例函数 $ y_1 = \frac{1}{2}x $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(m,2) $.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)把直线 $ y_1 = \frac{1}{2}x $ 向上平移 3 个单位长度后与 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ B $，连接 $ AB $，$ OB $，求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案： 2.解:
(1)
∵点A(m,2)在正比例函数y₁=1/2x的图象上,
∴2=1/2m,解得m=4.
∴A(4,2).
∵点A(4,2)在反比例函数y₂=k/x的图象上,
∴k=4×2=8.
∴反比例函数的解析式为y₂=8/x(x＞0).
(2)把直线y₁=1/2x向上平移3个单位长度后得到直线y=1/2x+3.设平移后的直线与y轴交于点D,连接AD.由题意,得D(0,3),BD//AO.
∴S△AOB=S△ADO=1/2×3×4=6.

反比例函数中求图形面积常用以下方法：
1. 割补法：
(1)分割法（本例子也叫铅垂法）：
如图 1，$ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AD \cdot |x_C - x_B| $.
(2)补全法：
如图 2，过点 $ B $ 作 $ HF \perp x $ 轴，过点 $ A $ 作 $ AH \perp HF $ 于点 $ H $，过点 $ E $ 作 $ EF \perp HF $ 于点 $ F $，则 $ S_{\triangle ABE} = S_{梯形AEFH} - S_{\triangle BEF} - S_{\triangle ABH} $.

2. 平行线转移法：
如图 3，若 $ DC // AB $，则 $ S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACO} + S_{\triangle BCO} = \frac{1}{2}OC \cdot |x_A - x_B| $.

答案： 设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，以下为不同方法求面积的示例解答（由于原题未给出具体图形坐标等信息，以通用推导为例）：
1. 割补法
(1)分割法
假设$A(x_{A},y_{A})$，$B(x_{B},y_{B})$，$C(x_{C},y_{C})$，$D$为$A$到$x$轴垂足相关点（在铅垂法中），$AD$为$A$到$x$轴相关线段长度（具体根据图形），根据$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot|x_{C}-x_{B}|$，若已知$AD$长度以及$x_{C}$，$x_{B}$的值，直接代入计算即可得到$\triangle ABC$的面积。
(2)补全法
设$A(x_{A},y_{A})$，$B(x_{B},y_{B})$，$E(x_{E},y_{E})$，$H$，$F$为相应垂足点。
先求梯形$AEFH$的面积$S_{梯形AEFH}=\frac{1}{2}(AH + EF)\cdot HF$，其中$AH$为$A$到$HF$的距离，$EF$为$E$到$HF$的距离，$HF$为$B$到$x$轴垂线段长度相关值；$\triangle BEF$的面积$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}EF\cdot BF$（$BF$为$B$，$F$水平或垂直相关长度）；$\triangle ABH$的面积$S_{\triangle ABH}=\frac{1}{2}AH\cdot BH$（$BH$为$B$，$H$水平或垂直相关长度）。
则$S_{\triangle ABE}=S_{梯形AEFH}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle ABH}$，将相应长度值代入计算。
2. 平行线转移法
设$A(x_{A},y_{A})$，$B(x_{B},y_{B})$，$C$为坐标轴与相关直线交点，$O$为坐标原点，$OC$为坐标轴上相关线段长度。
因为$DC// AB$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACO}+S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}OC\cdot|x_{A}-x_{B}|$，已知$OC$长度以及$x_{A}$，$x_{B}$的值，代入计算可得$S_{\triangle ABD}$的面积。