《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

7. (2024·遵义绥阳县期末)若 $x=\frac{2 \pm \sqrt{4-4 × 3 ×(-1)}}{2 × 3}$ 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是(D)

A.$3 x^{2}+2 x-1=0$
B.$2 x^{2}+4 x-1=0$
C.$-x^{2}-2 x+3=0$
D.$3 x^{2}-2 x-1=0$

答案： D

8. 一元二次方程 $x^{2}+3 x-1=0$ 的较大的根为$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

答案： $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$

9. 【数形结合思想】如图，点 $A$ 在数轴的负半轴上，点 $B$ 在数轴的正半轴上，且点 $A$ 对应的数是 $2 x-1$，点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$. 已知 $A B=5$，则 $x$ 的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

答案： $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

10. 用公式法解下列方程：
(1) $x(x+2 \sqrt{3})+2=0$.
(2) $x^{2}+7 x-3=x(3-x)$.

答案： 10. 解:
(1)原方程可化为$x^{2}+2\sqrt{3}x+2=0.\because a=1,b=2\sqrt{3},c=2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(2\sqrt{3})^{2}-4× 1× 2=4＞0.$
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{-2\sqrt{3}\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm 2}{2}.\therefore x_{1}=-\sqrt{3}+1,x_{2}=-\sqrt{3}-1.$
(2)原方程可化为$2x^{2}+4x-3=0.\because a=2,b=4,c=-3,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4× 2× (-3)=40＞0.$
∴方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{-4\pm \sqrt{40}}{2× 2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{4}.\therefore x_{1}=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_{2}=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}.$

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k+1) x+2 k-2=0$.
(1) 试判断方程的根的情况.
(2) 若此方程有一个根大于 $0$ 且小于 $1$，求 $k$ 的取值范围.

答案： 11. 解:
(1)$\because a=1,b=-(k+1),c=2k-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(k+1)]^{2}-4(2k-2)=k^{2}-6k+9=(k-3)^{2}\geq 0.$
∴此方程总有两个实数根.
(2)$x=\frac{(k+1)\pm \sqrt{(k-3)^{2}}}{2}$,解得$x_{1}=k-1,x_{2}=2$.
∵此方程有一个根大于0且小于1,$\therefore 0＜k-1＜1.\therefore 1＜k＜2.$

12. 学习完一元二次方程的解法后，于老师给同学们讲了下面的例题.
例：解方程 $x(x+1)(x+2)(x+3)+1=0$.
解：$[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1=0$，
$\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}+3 x+2\right)+1=0$，
$\left(x^{2}+3 x\right)^{2}+2\left(x^{2}+3 x\right)+1=0$，
$\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}=0$，
$x^{2}+3 x+1=0$，
$\because \Delta=3^{2}-4 × 1 × 1=5$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.
于老师对同学们说：“请你们根据上题的解题过程，求解下面的方程.”
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0$.

答案： 12. 解:$[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=0,(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)+1=0,(x^{2}+5x)^{2}+10(x^{2}+5x)+25=0,(x^{2}+5x+5)^{2}=0,x^{2}+5x+5=0,\because \Delta =5^{2}-4× 1× 5=5,\therefore x_{1}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}.$