《2025年赢在微点数学》

1.（2024·成都检测）若 $\alpha$ 为锐角，且 $\cos(\alpha+\frac{\pi}{12})=\frac{3}{5}$，则 $\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=$ （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{10}$　　
　B. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$　
　C. $-\frac{7\sqrt{2}}{10}$　
　D. $-\frac{\sqrt{2}}{10}$

答案： D 解析 因为$\alpha$为锐角，所以$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以$\alpha+\frac{\pi}{12}\in(\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12})$。又$\cos(\alpha+\frac{\pi}{12})=\frac{3}{5}$，所以$\sin(\alpha+\frac{\pi}{12})=\frac{4}{5}$，所以$\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=\cos[(\alpha+\frac{\pi}{12})+\frac{\pi}{4}]=\cos(\alpha+\frac{\pi}{12})\cos\frac{\pi}{4}-\sin(\alpha+\frac{\pi}{12})\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$。故选 D。

2.（2023·广州三模）若 $\tan\beta=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$，则 （ ）
A. $\tan(\alpha - \beta)=1$　　
　B. $\tan(\alpha - \beta)=-1$
C. $\tan(\alpha + \beta)=1$　　
　D. $\tan(\alpha + \beta)=-1$

答案： A 解析 解法一：因为$\tan\beta=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$，所以$\tan\beta=\frac{\tan\alpha - 1}{\tan\alpha+1}$，所以$\tan\alpha\tan\beta+\tan\beta=\tan\alpha - 1$，所以$1+\tan\alpha\tan\beta=\tan\alpha-\tan\beta$，所以$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=1$。故选 A。
解法二：$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$，即$\sin\beta\sin\alpha+\sin\beta\cos\alpha=\cos\beta\sin\alpha-\cos\beta\cos\alpha$，$\sin\beta\sin\alpha+\cos\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha-\beta)=\sin(\alpha-\beta)$，即$\tan(\alpha-\beta)=1$。故选 A。

3. 化简：$\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta+\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta-\frac{1}{2}\cos2\alpha\cdot\cos2\beta=$________。

答案： $\frac{1}{2}$ 解析 原式$=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\cdot\frac{1-\cos2\beta}{2}+\frac{1+\cos2\alpha}{2}\cdot\frac{1+\cos2\beta}{2}-\frac{1}{2}\cos2\alpha\cos2\beta=\frac{1-\cos2\beta-\cos2\alpha+\cos2\alpha\cos2\beta}{4}+\frac{1+\cos2\beta+\cos2\alpha+\cos2\alpha\cos2\beta}{4}-\frac{1}{2}\cos2\alpha\cos2\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\alpha\cos2\beta-\frac{1}{2}\cos2\alpha\cos2\beta=\frac{1}{2}$。

4.（2024·西安市长安区模拟）我国古代天文学家僧一行在《大衍历》中建立了晷影长 $l$ 与太阳天顶距 $\theta(0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ})$ 的对应数表，这是世界上较早的一张正切函数表。根据三角学知识可知，晷影长 $l$ 等于表高 $h$ 与太阳天顶距 $\theta$ 正切值的乘积，即 $l = h\tan\theta$。对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的太阳天顶距分别为 $\alpha,\beta$，且 $\tan(\alpha - \beta)=\frac{1}{3}$，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的 （ ）
A. 1 倍　
　B. 2 倍　
　C. 3 倍　
　D. 4 倍

答案： B 解析 依题意，$\tan\beta = 1$，则$\tan\alpha=\tan[(\alpha-\beta)+\beta]=\frac{\tan(\alpha-\beta)+\tan\beta}{1-\tan(\alpha-\beta)\tan\beta}=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=2$，所以第一次的“晷影长”是“表高”的$2$倍。故选 B。

[例1]　4sin 40° - tan 40°的值为 （ ）
A.$\sqrt{3}$　　　　　　　
　B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$　　　　　
　D.2$\sqrt{2}$ - 1

答案： A解析4sin40°−tan40°=4sin40°−$\frac{sin40°}{cos40°}$=$\frac{2sin80°−sin40°}{cos40°}$=$\frac{sin80°+(sin80°−sin40°)}{cos40°}$=$\frac{sin80°+[sin(60°+20°)−sin(60°−20°)]}{cos40°}$=$\frac{sin80°+2cos60°sin20°}{cos40°}$=$\frac{sin80°+sin20°}{cos40°}$=$\frac{sin(50°+30°)+sin(50°−30°)}{cos40°}$=$\frac{\sqrt{3}sin50°}{cos50°}$=$\sqrt{3}$。故选A。

[例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α - β) = $\frac{1}{3}$，cos α sin β = $\frac{1}{6}$，则cos(2α + 2β) = （ ）
A.$\frac{7}{9}$　　　　　　　
　B.$\frac{1}{9}$
C.-$\frac{1}{9}$　　　　　　
　D.-$\frac{7}{9}$

答案： B解析因为sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，而cosαsinβ=$\frac{1}{6}$，因此sinαcosβ=$\frac{1}{2}$，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2}{3}$，所以cos(2α + 2β)=cos[2(α+β)]=1 - 2sin²(α+β)=1 - 2×($\frac{2}{3}$)²=$\frac{1}{9}$。故选B。