《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　已知抛物线$E:y^{2}=2px(p＞0)$的焦点为$F$，过点$F$且倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线交抛物线于$M$，$N$两点，$|MN| = 8$。
　(1)求抛物线$E$的方程；
　(2)在抛物线$E$上任取与原点不重合的点$A$，过$A$作抛物线$E$的切线交$x$轴于点$B$，点$A$在直线$x = - 1$上的射影为点$C$，试判断四边形$ACBF$的形状，并说明理由。

答案： 解　
(1)设过点$F$且倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线方程为$y=x-\frac{p}{2}$，代入$y^{2}=2px(p＞0)$，得$x^{2}-3px+\frac{p^{2}}{4}=0$，若$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=3p$，所以$|MN|=x_{1}+x_{2}+p=4p = 8$，则$p = 2$，即抛物线$E$的方程为$y^{2}=4x$。
(2)设$A(x_{0},y_{0})$，则过点$A$作抛物线$E$的切线为$y - y_{0}=k(x - x_{0})$，即$x=\frac{y - y_{0}}{k}+x_{0}$，代入$y^{2}=4x$，整理得$ky^{2}-4y + 4y_{0}-ky_{0}^{2}=0$，因为此直线与抛物线相切，所以$\Delta = 4(4 - 4ky_{0}+k^{2}y_{0}^{2})=0$，即$(ky_{0}-2)^{2}=0$，解得$k=\frac{2}{y_{0}}$，所以过点$A$的切线为$y - y_{0}=\frac{2}{y_{0}}(x - x_{0})$，令$y = 0$，得$x=-x_{0}$，即$B(-x_{0},0)$，所以$|BF|=|AF|=|AC|$，又$AC// BF$，所以四边形$ACBF$有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形$ACBF$为菱形。

[例1]　(2023·全国甲卷)已知直线$x - 2y + 1 = 0$与抛物线$C:y^{2}=2px(p＞0)$交于$A,B$两点，$|AB| = 4\sqrt{15}$。
　(1)求$p$；
　(2)设$F$为$C$的焦点，$M,N$为$C$上两点，且$\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0$，求$\triangle MFN$面积的最小值。

答案： 解　
(1)设$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$，由$\begin{cases}x - 2y + 1 = 0\\y^{2}=2px\end{cases}$，可得$y^{2}-4py + 2p = 0$，所以$y_{A}+y_{B}=4p$，$y_{A}y_{B}=2p$，所以$|AB|=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{5}|y_{A}-y_{B}|=\sqrt{5}\times\sqrt{(y_{A}+y_{B})^{2}-4y_{A}y_{B}}=4\sqrt{15}$，即$2p^{2}-p - 6 = 0$，因为$p＞0$，解得$p = 2$。
(2)因为$F(1,0)$，显然直线$MN$的斜率不可能为零，设直线$MN:x = my + n$，$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，由$\begin{cases}y^{2}=4x\\x = my + n\end{cases}$，可得$y^{2}-4my - 4n = 0$，所以$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4n$，$\Delta=16m^{2}+16n＞0\Rightarrow m^{2}+n＞0$，因为$\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0$，所以$(x_{1}-1)(x_{2}-1)+y_{1}y_{2}=0$，即$(my_{1}+n - 1)(my_{2}+n - 1)+y_{1}y_{2}=0$，亦即$(m^{2}+1)y_{1}y_{2}+m(n - 1)(y_{1}+y_{2})+(n - 1)^{2}=0$，将$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4n$代入，得$4m^{2}=n^{2}-6n + 1$，$4(m^{2}+n)=(n - 1)^{2}＞0$，所以$n\neq1$，且$n^{2}-6n + 1\geqslant0$，解得$n\geqslant3 + 2\sqrt{2}$或$n\leqslant3 - 2\sqrt{2}$。设点$F$到直线$MN$的距离为$d$，所以$d=\frac{|n - 1|}{\sqrt{1 + m^{2}}}$，$|MN|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{1 + m^{2}}|y_{1}-y_{2}|=\sqrt{1 + m^{2}}\sqrt{16m^{2}+16n}=2\sqrt{1 + m^{2}}\sqrt{4m^{2}+4n}=2\sqrt{1 + m^{2}}|n - 1|$，所以$\triangle MFN$的面积$S=\frac{1}{2}\times|MN|\times d=\frac{1}{2}\times\frac{|n - 1|}{\sqrt{1 + m^{2}}}\times2\sqrt{1 + m^{2}}|n - 1|=(n - 1)^{2}$，而$n\geqslant3 + 2\sqrt{2}$或$n\leqslant3 - 2\sqrt{2}$，所以当$n = 3 - 2\sqrt{2}$时，$\triangle MFN$的面积$S_{min}=(2 - 2\sqrt{2})^{2}=12 - 8\sqrt{2}$。