《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　(2024·昆明质量检测)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₁ = $\frac{1}{2}$，且满足(n - 1)·Sₙ + 2naₙ₊₁ = 0。
(1)设bₙ = $\frac{Sₙ}{n}$，证明：{bₙ}是等比数列；
(2)设cₙ = $\frac{1}{4^{n + 2}·a_{n + 2}^2}$，数列{cₙ}的前n项和为Tₙ，证明：Tₙ ＜ 2。

答案： 证明
(1)因为 $(n - 1)S_{n}+2na_{n + 1}=0$，而 $a_{n + 1}=S_{n + 1}-S_{n}$，所以 $(n - 1)S_{n}+2n(S_{n + 1}-S_{n})=0$，所以 $\frac{S_{n + 1}}{n + 1}=\frac{1}{2}\times\frac{S_{n}}{n}$，即 $b_{n + 1}=\frac{1}{2}b_{n}$，而 $b_{1}=S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}$，所以数列$\{b_{n}\}$是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。
(2)由
(1)知 $\frac{S_{n}}{n}=(\frac{1}{2})^{n}$，所以 $S_{n}=\frac{n}{2^{n}}$，所以 $a_{n + 1}=\frac{(1 - n)S_{n}}{2n}=\frac{1 - n}{2^{n + 1}}$。当 $n = 1$ 时，$c_{1}=\frac{1}{4^{1}\times a_{3}^{2}} = 1$，所以 $T_{1}＜2$。当 $n\geqslant2$ 时，$c_{n}=\frac{1}{4^{n + 2}\cdot a_{n + 2}^{2}}=\frac{1}{n^{2}}＜\frac{1}{(n - 1)n}=\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}$，所以 $T_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}＜1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}＜2$。综上，$T_{n}＜2$。

[例3]　(2023·全国甲卷)记Sₙ 为数列{aₙ}的前n项和，已知a₂ = 1，2Sₙ = naₙ。
(1)求{aₙ}的通项公式；
(2)求数列{$\frac{aₙ₊₁}{2ⁿ}$}的前n项和Tₙ。

答案： 解
(1)因为 $2S_{n}=na_{n}$，当 $n = 1$ 时，$2a_{1}=a_{1}$，即 $a_{1}=0$；当 $n = 3$ 时，$2(1 + a_{3})=3a_{3}$，即 $a_{3}=2$，当 $n\geqslant2$ 时，$2S_{n - 1}=(n - 1)a_{n - 1}$，所以 $2(S_{n}-S_{n - 1})=na_{n}-(n - 1)a_{n - 1}=2a_{n}$，化简得 $(n - 2)a_{n}=(n - 1)a_{n - 1}$，当 $n\geqslant3$ 时，$\frac{a_{n}}{n - 1}=\frac{a_{n - 1}}{n - 2}=\cdots=\frac{a_{3}}{2}=1$，即 $a_{n}=n - 1$，当 $n = 1,2,3$ 时都满足上式，所以 $a_{n}=n - 1(n\in N^{*})$。
(2)因为 $\frac{a_{n + 1}}{2^{n}}=\frac{n}{2^{n}}$，所以 $T_{n}=1\times(\frac{1}{2})^{1}+2\times(\frac{1}{2})^{2}+3\times(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+n\times(\frac{1}{2})^{n}$，$\frac{1}{2}T_{n}=1\times(\frac{1}{2})^{2}+2\times(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+(n - 1)\times(\frac{1}{2})^{n}+n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}$，两式相减，得 $\frac{1}{2}T_{n}=(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots+(\frac{1}{2})^{n}-n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}=\frac{\frac{1}{2}\times[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-n\times(\frac{1}{2})^{n + 1}=1-(1+\frac{n}{2})(\frac{1}{2})^{n}$，即 $T_{n}=2-(2 + n)(\frac{1}{2})^{n},n\in N^{*}$。