《2025年赢在微点数学》

【典例】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数$f(x)=\cos ax-\ln(1 - x^2)$，若$x = 0$是$f(x)$的极大值点，求$a$的取值范围。

答案： 【解】解法一(单调性分析法)：
因为$f(x)=\cos ax-\ln(1 - x^2)$，其定义域为$(-1,1)$，关于原点对称，且$f(-x)=\cos(-ax)-\ln[1 - (-x)^2]=\cos ax-\ln(1 - x^2)=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数。$f'(x)=-a\sin ax+\frac{2x}{1 - x^2}(-1＜x＜1)$。令$t(x)=-a\sin ax+\frac{2x}{1 - x^2}(-1＜x＜1)$，则$t'(x)=-a^2\cos ax+\frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}(-1＜x＜1)$。令$n(x)=-a^2\cos ax+\frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}(-1＜x＜1)$，则$n'(x)=a^3\sin ax+\frac{4x(3 + x^2)}{(1 - x^2)^3}$。
若$a = 0$，当$0＜x＜1$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增，当$-1＜x＜0$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减，所以$x = 0$是$f(x)$的极小值点，不符合题意。
若$a＞0$，取$\frac{\pi}{2a}$与$1$中的较小者为$m$，则当$0＜x＜m$时，易知$n'(x)＞0$，所以$n(x)$即$t'(x)$在$(0,m)$上单调递增，所以$t'(x)＞t'(0)=2 - a^2$。
①当$2 - a^2\geq0$，即$0＜a\leq\sqrt{2}$时，在区间$(0,m)$上$t'(x)＞0$，所以$t(x)$在$(0,m)$上单调递增，所以$t(x)＞t(0)=0$，即$f'(x)＞0$。那么$f(x)$在$(0,m)$上单调递增，由偶函数性质知$f(x)$在$(-m,0)$上单调递减。故$x = 0$是$f(x)$的极小值点，不符合题意。
②当$2 - a^2＜0$，即$a＞\sqrt{2}$时，当$\frac{\pi}{2a}＜1$，即$a＞\frac{\pi}{2}$时，因为$t'(0)＜0$，$t'(\frac{\pi}{2a})＞0$，且$t'(x)$在$(0,\frac{\pi}{2a})$上单调递增，所以$t'(x)$在$(0,\frac{\pi}{2a})$上存在唯一零点$x_1$，且当$0＜x＜x_1$时，$t'(x)＜0$，$t(x)$单调递减，因为$t(0)=0$，所以当$0＜x＜x_1$时，$t(x)＜0$，即$f'(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,x_1)$上单调递减，因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$(-x_1,0)$上单调递增，故可得$x = 0$是$f(x)$的极大值点，符合题意。当$\frac{\pi}{2a}＞1$，即$\sqrt{2}＜a＜\frac{\pi}{2}$时，因为$t'(0)＜0$，$t'(\frac{1}{2})=-a^2\cos\frac{a}{2}+\frac{40}{9}＞0$，且$t'(x)$在$(0,1)$上单调递增，所以$t'(x)$在$(0,\frac{1}{2})$上存在唯一零点$x_2$，且当$0＜x＜x_2$时，$t'(x)＜0$，$t(x)$单调递减，因为$t(0)=0$，所以当$0＜x＜x_2$时，$t(x)＜0$，即$f'(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,x_2)$上单调递减，因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$(-x_2,0)$上单调递增，故可得$x = 0$是$f(x)$的极大值点，符合题意。
若$a＜0$，由偶函数图象的对称性可得$a＜-\sqrt{2}$。综上所述，$a$的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
解法二(极值第二充分条件)：
由于$f'(x)=-a\sin ax+\frac{1}{1 - x}-\frac{1}{1 + x}$，$f''(x)=-a^2\cos ax+\frac{1}{(1 - x)^2}+\frac{1}{(1 + x)^2}$，且有$f'(0)=0$，$f''(0)=-a^2 + 2$，当$a^2＜2$时，$f''(0)＞0$，此时$x = 0$不是$f(x)$的极大值点，当$a^2＞2$即$a＞\sqrt{2}$或$a＜-\sqrt{2}$时，$f''(0)＜0$，此时$x = 0$是$f(x)$的极大值点，当$a = \pm\sqrt{2}$时，$f'(x)=-\sqrt{2}\sin\sqrt{2}x+\frac{2x}{1 - x^2}$，当$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$f'(x)＞-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}x+2x = 0$，注意到$f'(x)$是奇函数，所以$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜x＜0$时$f'(x)＜0$，所以$a = \pm\sqrt{2}$时，$x = 0$是$f(x)$的极小值点。综上，$a$的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。