《2025年赢在微点数学》

4. $\triangle ABC$中，设$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}$，若$\boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) ＜ 0$，则$\triangle ABC$的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形

答案： C 解析 由已知得a + b + c = 0，即c + a = -b，又c·(c + a - b)＜0，所以c·(-2b)＜0，即c·b＞0，c与b的夹角为锐角，∠A是锐角，所以△ABC是钝角三角形。故选C。

5. 在四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC} = (4, - 2)$，$\overrightarrow{BD} = (2, m)$，$\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$，则该四边形的面积是________。

答案： 10 解析 由题意得$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=4×2 - 2m = 0$，解得m = 4，则$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}} = 2\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，所以$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{BD}|=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$。

[例1] 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P。求证：
(1)$BE\perp CF$；
(2)$AP = AB$。

答案：
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB = 2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)。
(1)$\overrightarrow{BE}=(-1,2)$，$\overrightarrow{CF}=(-2,-1)$。所以$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CF}=(-1)\times(-2)+2\times(-1)=0$，所以$\overrightarrow{BE}\perp\overrightarrow{CF}$，即BE⊥CF。
(2)设点P的坐标为(x,y)，则$\overrightarrow{FP}=(x,y - 1)$，$\overrightarrow{FC}=(2,1)$，因为$\overrightarrow{FP}//\overrightarrow{FC}$，所以x = 2(y - 1)，即x = 2y - 2。同理，由$\overrightarrow{BP}//\overrightarrow{BE}$，得y = - 2x + 4，由$\begin{cases}x = 2y - 2\\y = - 2x + 4\end{cases}$，得$\begin{cases}x=\frac{6}{5}\\y=\frac{8}{5}\end{cases}$，所以点P的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{8}{5})$。所以$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{8}{5})^2}=2=|\overrightarrow{AB}|$，即AP = AB。

[例2] (1)已知O为△ABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=(1 - \lambda)\overrightarrow{OD}+\lambda\overrightarrow{OC}(\lambda\in\mathbf{R})$，则点P的轨迹一定过△ABC的 （ ）
A.内心 B.垂心
C.重心 D.AC边的中点

答案：
(1)C解析 由动点P满足$\overrightarrow{OP}=(1 - \lambda)\overrightarrow{OD}+\lambda\overrightarrow{OC}(\lambda\in R)$，且1 - $\lambda$ + $\lambda$ = 1，所以P，C，D三点共线，又因为D为A，B的中点，所以CD为△ABC的边AB的中线，所以点P的轨迹一定过△ABC的重心。故选C。

(2)设P是△ABC所在平面内一点，若$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CP}$，且$\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AP}$，则点P是△ABC的 （ ）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心

答案：
(2)A解析 由$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CP}$，得$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CP})=0$，即$\overrightarrow{AB}\cdot[(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP})+(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CP})]=0$，所以$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA})=0$。设点D为AB的中点，则$\overrightarrow{AB}\cdot2\overrightarrow{PD}=0$，故$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{PD}=0$。由$\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AP}$，得$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AP}$，即$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AP})\cdot\overrightarrow{BC}=0$。设点E为BC的中点，则$(2\overrightarrow{AE}-2\overrightarrow{AP})\cdot\overrightarrow{BC}=0$，则$2\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，故$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{PE}=0$。所以点P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以点P是△ABC的外心。故选A。

[例3] 在△ABC中，$AC = 9$，$\angle A = 60^{\circ}$，D点满足$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}$，$AD=\sqrt{37}$，则BC的长为 （ ）
A.$3\sqrt{7}$
B.$3\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{3}$
D.6

答案： A解析 因为$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，设AB = x，则$\overrightarrow{AD}^2=(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})^2$，得$37=\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}\times x\times9\cos60^{\circ}+\frac{1}{9}\times9^2$，即$2x^2+9x - 126 = 0$，因为x＞0，故解得x = 6，即AB = 6，所以$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|=\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2-2|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cos60^{\circ}}=\sqrt{6^2+9^2-2\times6\times9\times\frac{1}{2}}=3\sqrt{7}$。故选A。