《2025年赢在微点数学》

[例4]　(2023·石家庄市二模)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为1∶2，侧面积为9π。在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为 （ ）
A. 3π
B. 5π
C. 8π
D. 9π

答案：
C　解析　设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，2r，圆台的母线长为l，根据圆台的侧面积公式可得πl(r + 2r) = 9π，lr = 3。作出圆台的轴截面，如图，记AB，CD的中点分别为F，E，连接FE，则O为FE的中点。记圆O与BC的切点为P，连接OP，根据圆的切线的性质，可得PC = EC = r，BP = BF = 2r，所以l = BC = 3r，所以r = 1，l = 3。过点C作CQ⊥BA，垂足为点Q，设球O的半径为R，在Rt△BQC中，4R² + r² = l²，解得R² = 2，所以球O的表面积为4πR² = 8π。故选C。

[变式训练]　(2024·四川模拟)现为某球状巧克力设计圆锥体样式的包装盒，要求包装盒与巧克力球相切，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为 ________。

答案：
72π　解析　设圆锥体包装盒的底面半径为r，高为h。如图，作出巧克力与包装盒截面示意图，其中，O为球心，SD⊥AB，OC⊥SB。由Rt△SOC∽Rt△SBD，可得$\frac{OC}{BD}=\frac{SO}{SB}$，即$\frac{3}{r}=\frac{h - 3}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}}$，所以r² = $\frac{9h}{h - 6}$，h＞6。所以包装盒的体积V = $\frac{1}{3}πr^{2}h=\frac{1}{3}π·\frac{9h}{h - 6}·h = 3π·[(h - 6)+12+\frac{36}{h - 6}]≥3π·[12 + 2\sqrt{(h - 6)·\frac{36}{h - 6}}]=72π$，当且仅当h - 6 = $\frac{36}{h - 6}$，即h = 12时取等号。

【典例】（2020·新高考Ⅰ卷）已知直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长均为$2$，$\angle BAD = 60^{\circ}$。以$D_{1}$为球心，$\sqrt{5}$为半径的球面与侧面$BCC_{1}B_{1}$的交线长为________。

答案： $\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$

【训练】（2023·全国甲卷）在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别为$CD$，$A_{1}B_{1}$的中点，则以$EF$为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为________。
　　　　　

答案：
12 解析 不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O，分别取AB，BB₁的中点G，M，侧面BB₁C₁C的中心为N，连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF = $\sqrt{FG^{2}+EG^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，即R = $\sqrt{2}$，则球心O到BB₁的距离为OM = $\sqrt{ON^{2}+MN^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，所以球O与棱BB₁相切，球面与棱BB₁只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12。