《2025年赢在微点数学》

1. 空间向量的有关概念

答案： 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合
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2. 空间向量的有关定理
（1）
共线向量定理：对任意两个空间向量$a$，$b(b\neq0)$，$a// b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使__________。
（2）
共面向量基本定理：如果两个向量$a$，$b$不共线，那么向量$p$与向量$a$，$b$共面的充要条件是存在__________的有序实数对$(x,y)$，使$p=$__________。
（3）
空间向量基本定理：如果三个向量$a$，$b$，$c$不共面，那么对任意一个空间向量$p$，存在唯一的有序实数组$(x,y,z)$，使得$p=$__________。其中，$\{a,b,c\}$叫做空间的一个基底。

答案： $a = \lambda b$ 唯一 $xa + yb$ $xa + yb + zc$
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3. 空间向量的数量积
（1）
两向量的夹角：已知两个非零向量$a$，$b$，在空间任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则$\angle AOB$叫做向量$a$与$b$的夹角，记作$\langle a,b\rangle$，其范围是__________，若$\langle a,b\rangle=\frac{\pi}{2}$，则称$a$与$b$______，记作$a\perp b$。
（2）
两向量的数量积：已知两个非零向量$a$，$b$，则$|a||b|\cos\langle a,b\rangle$叫做$a$，$b$的数量积，记作$a\cdot b$，即$a\cdot b=$______________。
（3）空间向量数量积的运算律
①$(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b),\lambda\in R$；
②$a\cdot b=b\cdot a$（交换律）；
③$(a + b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c$（分配律）。

答案： $[0,\pi]$ 互相垂直 $|a||b|\cos\langle a,b\rangle$
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4. 空间向量的坐标表示及其应用
设$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$。

答案： $(a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},a_{3}\pm b_{3})$ $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$ $a_{1}=\lambda b_{1},a_{2}=\lambda b_{2},a_{3}=\lambda b_{3}$ $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$ 
$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
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5. 直线的方向向量和平面的法向量
（1）
直线的方向向量：如果表示非零向量$a$的有向线段所在直线与直线$l$______，则称此向量$a$为直线$l$的方向向量。
（2）平面的法向量：直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$a$，则向量$a$叫做平面$\alpha$的法向量。

答案： 平行或重合