《2025年赢在微点数学》

（2）经过直线$l_{1}$：$x - 3y + 4 = 0$和$l_{2}$：$2x + y + 5 = 0$的交点，并且经过原点的直线的方程是（ ）
A. $19x - 9y = 0$
B. $9x + 19y = 0$
C. $3x + 19y = 0$
D. $19x - 3y = 0$

答案： C 解析 由$\begin{cases}x - 3y + 4 = 0,\\2x + y + 5 = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x = -\frac{19}{7},\\y=\frac{3}{7}。\end{cases}$所以$l_{1}$与$l_{2}$的交点坐标为$(-\frac{19}{7},\frac{3}{7})$。所以所求的直线方程为$y = -\frac{3}{19}x$，即$3x + 19y = 0$。故选C。

[例2]（1）已知直线$3x + my - 3 = 0$与$6x + 4y + 1 = 0$互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 4
B. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{5\sqrt{13}}{26}$
D. $\frac{7\sqrt{13}}{26}$

答案： D 解析 直线$3x + my - 3 = 0$过定点$(1,0)$，则直线$3x + my - 3 = 0$到直线$6x + 4y + 1 = 0$的距离即为点$(1,0)$到直线$6x + 4y + 1 = 0$的距离，则所求距离$d=\frac{|6\times1 + 4\times0 + 1|}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{52}}=\frac{7\sqrt{13}}{26}$。故选D。

（2）点$(0, - 1)$到直线$y = k(x + 1)$距离的最大值为（ ）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： B 解析 由$y = k(x + 1)$，可得直线过定点$(-1,0)$，易知当点$(-1,0)$与$(0,-1)$的连线与直线$y = k(x + 1)$垂直时，所求距离最大，所以点$(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$距离的最大值为$\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$。故选B。

（3）已知点$P(2, - 1)$，则过点$P$且与原点的距离为2的直线$l$的方程为_______。

答案： $x = 2$或$3x - 4y - 10 = 0$ 解析 易知过点$P$且垂直于$x$轴的直线满足条件，此时$l$的斜率不存在，其方程为$x = 2$。若斜率存在，设$l$的方程为$y + 1 = k(x - 2)$，即$kx - y - 2k - 1 = 0$，由已知得$\frac{|-2k - 1|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$，解得$k=\frac{3}{4}$，此时$l$的方程为$3x - 4y - 10 = 0$。综上，直线$l$的方程为$x = 2$或$3x - 4y - 10 = 0$。

[变式训练]（1）已知点$P(4, a)$到直线$4x - 3y - 1 = 0$的距离不大于3，则$a$的取值范围是_______。

答案： $[0,10]$ 解析 由题意得，点$P$到直线的距离为$\frac{|4\times4 - 3\times a - 1|}{5}=\frac{|15 - 3a|}{5}$。又$\frac{|15 - 3a|}{5}\leq3$，即$|15 - 3a|\leq15$，解得$0\leq a\leq10$，所以$a$的取值范围是$[0,10]$。

(2)(2024.九省适应性考试)已知$Q$为直线$l$：$x + 2y + 1 = 0$上的动点，点$P$满足$\overrightarrow{QP} = (1, - 3)$，记$P$的轨迹为$E$，则（ ）
A. $E$是一个半径为$\sqrt{5}$的圆
B. $E$是一条与$l$相交的直线
C. $E$上的点到$l$的距离均为$\sqrt{5}$
D. $E$是两条平行直线

答案： C 解析 设$P(x,y)$，由$\overrightarrow{QP}=(1,-3)$，得$Q(x - 1,y + 3)$，因为$Q$在直线$l:x + 2y + 1 = 0$上，故$x - 1 + 2(y + 3)+1 = 0$，化简得$x + 2y + 6 = 0$，即$P$的轨迹$E$为直线且与直线$l$平行，$E$上的点到$l$的距离$d=\frac{|6 - 1|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\sqrt{5}$，故A，B，D错误，C正确。故选C。

[例3]已知直线$l$：$2x - 3y + 1 = 0$，点$A(-1, - 2)$。求：
（1）点$A$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标；
（2）直线$m$：$3x - 2y - 6 = 0$关于直线$l$的对称直线$m'$的方程；
（3）直线$l$关于点$A(-1, - 2)$对称的直线$l'$的方程。

答案： 解 （1）设$A'(x,y)$，由已知条件得$\begin{cases}\frac{y + 2}{x + 1}\times\frac{2}{3}=-1,\\2\times\frac{x - 1}{2}-3\times\frac{y - 2}{2}+1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -\frac{33}{13},\\y=\frac{4}{13}。\end{cases}$所以$A'(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$。
（2）在直线$m$上取一点$M(2,0)$，则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点$M'$必在直线$m'$上。设对称点$M'(a,b)$，则$\begin{cases}2\times\frac{a + 2}{2}-3\times\frac{b + 0}{2}+1 = 0,\\\frac{b - 0}{a - 2}\times\frac{2}{3}=-1。\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{6}{13},\\b=\frac{30}{13}。\end{cases}$故$M'(\frac{6}{13},\frac{30}{13})$。设直线$m$与直线$l$的交点为$N$，则由$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0,\\3x - 2y - 6 = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\end{cases}$即$N(4,3)$。又因为$m'$经过点$N(4,3)$，所以由两点式得直线$m'$的方程为$9x - 46y + 102 = 0$。
（3）设$P(x,y)$为$l'$上任意一点，则$P(x,y)$关于点$A(-1,-2)$的对称点为$P'(-2 - x,-4 - y)$，因为$P'$在直线$l$上，所以$2(-2 - x)-3(-4 - y)+1 = 0$，即$2x - 3y - 9 = 0$。