《2025年赢在微点数学》

（2）（多选题）下列不等式成立的是 （ ）
A. $2\ln\frac{3}{2}＜\frac{3}{2}\ln 2$
B. $\sqrt{2}\ln\sqrt{3}＜\sqrt{3}\ln\sqrt{2}$
C. $5\ln 4＜4\ln 5$
D. $\pi＞e\ln\pi$

答案： AD 解析：设$f(x)=\frac{\ln x}{x}$，则其定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，所以当$0 ＜ x ＜ e$时，$f'(x)＞0$，函数$f(x)$单调递增；当$x＞e$时，$f'(x)＜0$，函数$f(x)$单调递减。因为$\frac{3}{2}＜2＜e$，所以$f(\frac{3}{2})＜f(2)$，即$2\ln\frac{3}{2}＜\frac{3}{2}\ln2$，故选项A正确；因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}＜e$，所以$f(\sqrt{2})＜f(\sqrt{3})$，即$\sqrt{2}\ln\sqrt{3}＞\sqrt{3}\ln\sqrt{2}$，故选项B不正确；因为$e＜4＜5$，所以$f(4)＞f(5)$，即$5\ln4＞4\ln5$，故选项C不正确；因为$e＜\pi$，所以$f(e)＞f(\pi)$，即$\pi＞e\ln\pi$，故选项D正确。故选AD。

【例3】（2024·江苏四市调研）已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，当$x\geqslant0$时，$f(x)=e^{x}+\sin x$，则不等式$f(2x - 1)＜e^{\pi}$的解集是 （ ）
A. $(\frac{1+\pi}{2},+\infty)$
B. $(0,\frac{1+\pi}{2})$
C. $(0,\frac{1+e^{\pi}}{2})$
D. $(\frac{1-\pi}{2},\frac{1+\pi}{2})$

答案： D 解析：当$x\geq0$时，$f'(x)=e^{x}+\cos x$，因为$e^{x}\geq1$，$\cos x\in[-1,1]$，所以当$x\geq0$时，$f'(x)=e^{x}+\cos x\geq0$恒成立，所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，又$f(x)$是定义在$R$上的偶函数，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，$f(-\pi)=f(\pi)=e^{\pi}$，所以由$f(2x - 1)＜e^{\pi}$可得$-\pi＜2x - 1＜\pi$，解得$x\in(\frac{1 - \pi}{2},\frac{1+\pi}{2})$。故选D。

【例4】（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数$f(x)=ae^{x}-\ln x$在区间$(1,2)$上单调递增，则$a$的最小值为 （ ）
A. $e^{2}$
B. $e$
C. $e^{-1}$
D. $e^{-2}$

答案： C 解析：由题意可知$f'(x)=ae^{x}-\frac{1}{x}\geq0$在区间$(1,2)$上恒成立，即$a\geq(\frac{1}{xe^{x}})_{max}$，设$g(x)=xe^{x}$，则在区间$(1,2)$上恒有$g'(x)=(x + 1)e^{x}＞0$，所以$g(x)＞g(1)=e$，则$\frac{1}{g(x)}＜\frac{1}{e}$，即$a\geq e^{-1}$。故选C。

1. 已知$a=\frac{\ln\sqrt{2}}{4},b=\frac{1}{e^{2}},c=\frac{\ln\pi}{2\pi}$，则$a,b,c$的大小关系为 （ ）
A. $a＜c＜b$
B. $b＜a＜c$
C. $a＜b＜c$
D. $c＜a＜b$

答案： C 解析：令$f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}$，则其定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1 - 2\ln x}{x^{3}}$。令$f'(x)＜0$，解得$x＞\sqrt{e}$，因此$f(x)$在$(\sqrt{e},+\infty)$上单调递减，又因为$a=\frac{\ln\sqrt{2}}{4}=\frac{\ln4}{16}=f(4)$，$b=\frac{1}{e^{2}}=\frac{\ln e}{e^{2}}=f(e)$，$c=\frac{\ln\pi}{2\pi}=\frac{\ln\sqrt{\pi}}{\pi}=f(\sqrt{\pi})$，且$4＞e＞\sqrt{\pi}＞\sqrt{e}$，所以$f(4)＜f(e)＜f(\sqrt{\pi})$，即$a ＜ b ＜ c$。故选C。

2. （2023·北京顺义区一模）已知函数$f(x)=\log_{2}(x + 1)-x$，则不等式$f(x)＞0$的解集是 （ ）
A. $(1,+\infty)$
B. $(0,+\infty)$
C. $(0,1)$
D. $(-1,0)\cup(1,+\infty)$

答案： C 解析：$f(x)=\log_{2}(x + 1)-x$的定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1}{(x + 1)\ln2}-1$，易知$f'(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{\ln2}-1$，当$-1 ＜ x ＜ \frac{1}{\ln2}-1$时，$f'(x)＞0$，当$x＞\frac{1}{\ln2}-1$时，$f'(x)＜0$，则$f(x)$在$(-1,\frac{1}{\ln2}-1)$上单调递增，在$(\frac{1}{\ln2}-1,+\infty)$上单调递减。当$x＞-1$且$x$趋近于$-1$时，$\log_{2}(x + 1)$趋近于$-\infty$，故此时$f(x)=\log_{2}(x + 1)-x$趋近于$-\infty$，又$f(0)=0$，$f(1)=\log_{2}2 - 1 = 0$，所以可作出函数$f(x)=\log_{2}(x + 1)-x$的大致图象如图，由图可知不等式$f(x)＞0$的解集是$(0,1)$。故选C。

3. （2024·山东烟台模拟）若函数$f(x)=\ln x+ax^{2}-2$在区间$(\frac{1}{4},1)$上存在单调递增区间，则实数$a$的取值范围是________。

答案： $(-8,+\infty)$ 解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$。由题意得，$f'(x)＞0$在$(\frac{1}{4},1)$上有解，即$a＞-\frac{1}{2x^{2}}$在$(\frac{1}{4},1)$上有解。设$g(x)=-\frac{1}{2x^{2}}$，$x\in(\frac{1}{4},1)$，则$g'(x)=x^{-3}＞0$在$(\frac{1}{4},1)$上恒成立，所以$g(x)$在$(\frac{1}{4},1)$上单调递增，所以$g(\frac{1}{4})＜g(x)＜g(1)$。所以$a＞g(\frac{1}{4})=-8$。