《2025年赢在微点数学》

1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. $e_1=(0,0),e_2=(1,-2)$
B. $e_1=(-1,2),e_2=(5,7)$
C. $e_1=(3,5),e_2=(6,10)$
D. $e_1=(2,-3),e_2=(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$

答案： B解析　两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量$e_1$为零向量，C，D中两向量共线，B中$e_1\neq0$，$e_2\neq0$，且$e_1$与$e_1$不共线。故选B。

2. 如图，在$\triangle ABM$中，$BM = 3CM$，$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}$，若$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda+\mu=$

A. $-\frac{1}{7}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $-\frac{2}{7}$
D. $\frac{2}{7}$

答案： D　解析　$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{7}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\times\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}$，故$\lambda+\mu=-\frac{1}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2}{7}$。故选D。

3. 已知向量$a=(2,5),b=(\lambda,4)$，若$a// b$，则$\lambda =$______。

答案： $\frac{8}{5}$解析　因为$a// b$，所以$2\times4 = 5\lambda$，解得$\lambda=\frac{8}{5}$。

4. 已知向量$a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2)$。若向量$a$与向量$kb + c$共线，则实数$k =$______。

答案： 1解析　已知向量$a=(1,3)$，$b=(-2,1)$，$c=(3,2)$，所以$kb + c=(-2k + 3,k + 2)$，因为向量$a$与向量$kb + c$共线，所以$k + 2 = 3\times(-2k + 3)$，解得$k = 1$。

5. 已知$\square ABCD$的顶点$A(-1,-2),B(3,$

答案： $(1,5)$解析　设$D(x,y)$，则由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得$(4,1)=(5 - x,6 - y)$，即$\begin{cases}4 = 5 - x\\1 = 6 - y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$。

【例1】（1）如图，AD是△ABC的中线，O是AD上的一点，且$\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OD}$，若$\overrightarrow{CO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，其中$\lambda,\mu\in\mathbf{R}$，则$\lambda+\mu$的值为（ ）

A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： [例1]
(1)C解析　因为AD是△ABC的中线，O是AD上的一点，且$\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OD}$，所以O是△ABC的重心，则$\overrightarrow{CO}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。又$\overrightarrow{CO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda=\frac{1}{3}$，$\mu =-\frac{2}{3}$，则$\lambda+\mu =-\frac{1}{3}$。故选C。

（2）（2024·湘潭模拟）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$在正方形网格中的位置如图所示，以$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$为基底，则（ ）

A. $\boldsymbol{c}=-2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$
B. $\boldsymbol{c}=-3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$
D. $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$

答案：
[例1]
(2)C解析　建立如图所示平面直角坐标系，则$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,3)$，$\boldsymbol{c}=(7,-3)$。设$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，则
$\begin{cases}x - 2y = 7\\x + 3y = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$，故$\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$。

故选C。

【变式训练】（1）“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年。如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾三股四弦五”，且AB = 3，E为AD上一点，BE⊥AC。若$\overrightarrow{BA}=\lambda\overrightarrow{BE}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda+\mu$的值为（ ）
A. $-\frac{9}{25}$
B. $\frac{7}{25}$
C. $\frac{16}{25}$
D. 1

答案：
[变式训练]
(1)B解析　由题意建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，$\overrightarrow{BA}=(0,3)$，$\overrightarrow{AC}=(4,-3)$。设$|AE| = a$，则E(a,3)，$\overrightarrow{BE}=(a,3)$。因为$BE\perp AC$，所以$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BE}=4a - 9 = 0$，解得$a=\frac{9}{4}$。由$\overrightarrow{BA}=\lambda\overrightarrow{BE}+\mu\overrightarrow{AC}$，得$(0,3)=\lambda(\frac{9}{4},3)+\mu(4,-3)$，所以$\begin{cases}\frac{9}{4}\lambda + 4\mu = 0\\3\lambda - 3\mu = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{16}{25}\\\mu =-\frac{9}{25}\end{cases}$，所以$\lambda+\mu=\frac{7}{25}$。

故选B。

（2）（2023·昆明检测）在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的动点，连接EF，交AC于点G。若$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AE}+\mu\overrightarrow{AF}$，其中$\lambda,\mu\in\mathbf{R}$，且$\lambda+\mu=\frac{3}{2}$，则$\frac{|\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{GC}|}=$_______。

答案：

(2)2解析　如图，令$\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AC}=m\lambda\overrightarrow{AE}+m\mu\overrightarrow{AF}$，$m\gt0$，因为E，G，F三点共线，所以$m\lambda + m\mu = 1$，又$\lambda+\mu=\frac{3}{2}$，所以$m=\frac{2}{3}$，即$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GC}$，所以$\frac{|\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{GC}|}=2$。