《2025年赢在微点数学》

[例3]　(2024·云南统一检测)已知椭圆E的中心是坐标原点O，焦点在y轴上，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F是椭圆E的上焦点，点P在第一象限，点P和点$(-\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{3})$都在椭圆E上，且$\triangle POF$的面积等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$。A，B是椭圆E上异于点P的不同的动点，且$\angle APF=\angle BPF$。
　(1)求椭圆E的标准方程;
　(2)求证：直线AB的斜率是定值。

答案： 解：
(1)根据已知，设椭圆$E$的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，则$\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{2b^{2}}=1\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b=\sqrt{2}\\c=\sqrt{2}\end{cases}$，所以椭圆$E$的标准方程为$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{2}=1$。
(2)证明：因为$F$是椭圆$E$的上焦点，$O$是坐标原点，所以点$F$的坐标为$(0,\sqrt{2})$，$|OF|=c=\sqrt{2}$。因为点$P$在第一象限，且$\triangle POF$的面积等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{1}{2}\times|OF|\times x_P=\frac{\sqrt{2}x_P}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$x_P = 1$。又因为点$P$在椭圆$E$上，所以$y_P＞0$，且$\frac{y_P^{2}}{4}+\frac{x_P^{2}}{2}=1$，$\frac{y_P^{2}}{4}+\frac{1}{2}=1$，解得$y_P=\sqrt{2}$。所以点$P$的坐标为$(1,\sqrt{2})$。所以$k_{FP}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{1 - 0}=0$，即直线$FP$的斜率等于$0$，所以直线$FP// x$轴。因为$A$，$B$是椭圆$E$上异于点$P$的不同的动点，且$\angle APF=\angle BPF$，所以直线$AP$和直线$BP$的倾斜角互补，且斜率都存在，所以直线$AP$、直线$BP$的斜率互为相反数，设直线$AP$的斜率为$k$，则直线$BP$的斜率为$-k$。所以直线$AP$的方程为$y-\sqrt{2}=k(x - 1)$，即$y = kx+(\sqrt{2}-k)$。由$\begin{cases}y = kx+(\sqrt{2}-k)\\\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{2}=1\end{cases}$，得$(k^{2}+2)x^{2}+2k(\sqrt{2}-k)x+(\sqrt{2}-k)^{2}-4 = 0$。所以$x_Ax_P=x_A=\frac{(\sqrt{2}-k)^{2}-4}{k^{2}+2}=\frac{k^{2}-2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2}$，$y_A=k\times\frac{k^{2}-2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2}+(\sqrt{2}-k)=\frac{-2\sqrt{2}k^{2}-4k}{k^{2}+2}+\sqrt{2}$。所以点$A$的坐标为$(\frac{k^{2}-2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2},\frac{-2\sqrt{2}k^{2}-4k}{k^{2}+2}+\sqrt{2})$。同理可得，点$B$的坐标为$(\frac{k^{2}+2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2},\frac{-2\sqrt{2}k^{2}+4k}{k^{2}+2}+\sqrt{2})$。所以直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{\frac{-2\sqrt{2}k^{2}+4k}{k^{2}+2}+\sqrt{2}-\frac{-2\sqrt{2}k^{2}-4k}{k^{2}+2}-\sqrt{2}}{\frac{k^{2}+2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2}-\frac{k^{2}-2\sqrt{2}k - 2}{k^{2}+2}}=\sqrt{2}$。即直线$AB$的斜率是定值，这个定值为$\sqrt{2}$。

[变式训练]　过点(4,2)的动直线l与双曲线$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$交于M，N两点，当l与x轴平行时，$|MN| = 4\sqrt{2}$，当l与y轴平行时，$|MN| = 4\sqrt{3}$。
　(1)求双曲线E的标准方程;
　(2)点P是直线$y = x + 1$上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为$k_{1}$，$k_{2}$，若$k_{1}k_{2}$为定值，求点P的坐标。

答案： 解：
(1)根据双曲线的对称性，可知双曲线$E$过点$(\pm2\sqrt{2},2)$和点$(4,\pm2\sqrt{3})$，所以$\begin{cases}\frac{8}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1\\\frac{16}{a^{2}}-\frac{12}{b^{2}}=1\end{cases}$，得$\begin{cases}a^{2}=4\\b^{2}=4\end{cases}$，故双曲线$E$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$。
(2)当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y = k(x - 4)+2$，与双曲线方程联立，消去$y$，得$(k^{2}-1)x^{2}-(8k^{2}-4k)x+16k^{2}-16k + 8 = 0$，$\Delta＞0$。设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2=\frac{8k^{2}-4k}{k^{2}-1}$，$x_1x_2=\frac{16k^{2}-16k + 8}{k^{2}-1}$。设$P(t,t + 1)$，则$k_1k_2=\frac{(y_1 - t - 1)(y_2 - t - 1)}{(x_1 - t)(x_2 - t)}=\frac{(kx_1 - 4k - t + 1)(kx_2 - 4k - t + 1)}{(x_1 - t)(x_2 - t)}=\frac{k^{2}x_1x_2-k(4k + t - 1)(x_1 + x_2)+(4k + t - 1)^{2}}{x_1x_2-t(x_1 + x_2)+t^{2}}=\frac{k^{2}(16k^{2}-16k + 8)-k(4k + t - 1)(8k^{2}-4k)+(4k + t - 1)^{2}(k^{2}-1)}{16k^{2}-16k + 8-t(8k^{2}-4k)+t^{2}(k^{2}-1)}=\frac{(t^{2}+2t - 11)k^{2}-8(t - 1)k-(t - 1)^{2}}{(t - 4)^{2}k^{2}+4(t - 4)k-(t^{2}-8)}$。当$t = 4$时，不满足$k_1k_2$为定值。当$t\neq4$时，若$k_1k_2$为定值，则$\frac{t^{2}+2t - 11}{(t - 4)^{2}}=\frac{-8(t - 1)}{4(t - 4)}=\frac{-(t - 1)^{2}}{-(t^{2}-8)}$，解得$t = 3$，此时$k_1k_2 = 4$。经检验，当直线$l$的斜率不存在时，对$P(3,4)$，也满足$k_1k_2 = 4$。所以点$P$的坐标为$(3,4)$。