《2025年赢在微点数学》

[例1]　已知双曲线$x^{2}-y^{2}=4$，直线$l:y=k(x - 1)$，在下列条件下，求实数$k$的取值范围。
(1)直线$l$与双曲线有两个公共点；
(2)直线$l$与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线$l$与双曲线没有公共点。

答案： 解　由$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=4\\y = k(x - 1)\end{cases}$，消去$y$，得$(1 - k^{2})x^{2}+2k^{2}x - k^{2}-4 = 0(*)$。当$1 - k^{2}=0$，即$k=\pm1$时，直线$l$与双曲线渐近线平行，方程化为$2x = 5$，故此时方程$(*)$只有一个实数解，即直线$l$与双曲线相交，且只有一个公共点。当$1 - k^{2}\neq0$，即$k\neq\pm1$时，$\Delta=(2k^{2})^{2}-4(1 - k^{2})(-k^{2}-4)=4(4 - 3k^{2})$。当$\begin{cases}4 - 3k^{2}＞0\\1 - k^{2}\neq0\end{cases}$，即$-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜k＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且$k\neq\pm1$时，方程$(*)$有两个不相等的实数解，即直线$l$与双曲线有两个公共点。当$\begin{cases}4 - 3k^{2}=0\\1 - k^{2}\neq0\end{cases}$，即$k=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程$(*)$有两个相等的实数解，即直线$l$与双曲线有且仅有一个公共点。当$\begin{cases}4 - 3k^{2}＜0\\1 - k^{2}\neq0\end{cases}$，即$k＜-\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$k＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程$(*)$无实数解，即直线$l$与双曲线无公共点。综上所述，
(1)当$k\in(-\frac{2\sqrt{3}}{3},-1)\cup(-1,1)\cup(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$时，直线$l$与双曲线有两个公共点；
(2)当$k\in\{k|k = \pm1,或k=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\}$时，直线$l$与双曲线有且只有一个公共点；
(3)当$k\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{3}}{3})\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty)$时，直线$l$与双曲线没有公共点。

[变式训练]　(1)已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左焦点为$F_1$，过$F_1$的直线$l$交双曲线的左支于$A$，$B$两点，则直线$l$斜率的取值范围为（ ）
A.$(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$
B.$(-\infty,-\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4},+\infty)$
C.$(-\frac{3}{4},\frac{3}{4})$
D.$(-\infty,-\frac{4}{3})\cup(\frac{4}{3},+\infty)$

答案： B　解析　双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$，当直线$l$与渐近线平行时，直线$l$与双曲线只有一个交点。当直线$l$的斜率大于零时，要使直线$l$与双曲线的左支交于$A$，$B$两点，则需直线$l$的斜率$k＞\frac{3}{4}$；当直线$l$的斜率小于零时，要使直线$l$与双曲线的左支交于$A$，$B$两点，则需直线$l$的斜率$k＜-\frac{3}{4}$；当直线$l$的斜率$k = 0$时，不满足题意。故直线$l$斜率的取值范围为$(-\infty,-\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4},+\infty)$。故选B。

(2)已知直线$l$过双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左焦点，且与$C$交于$A$，$B$两点，当$|AB| = 8$时，这样的直线$l$有（ ）
A.1条　
　B.2条　
　C.3条　
　D.4条

答案： C　解析　由双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$可得左焦点$F(-5,0)$，顶点$(-4,0)$，$(4,0)$。若$l\perp x$轴，则$|AB|=2\times\frac{9}{4}=\frac{9}{2}＜8$，不符合题意，舍去；若$l$与$x$轴不垂直，与$C$的左支交于$A$，$B$两点，则$|AB| = 8$，存在两条直线；若$l$与$x$轴不垂直，与$C$的左、右支各交于一点，则只有$A$，$B$为顶点时满足$|AB| = 8$，存在一条直线。综上可得，满足条件的直线有3条。故选C。

[例2]　已知点$A(-2,0)$，$B(2,0)$，直线$AM$，$BM$相交于点$M$，且它们的斜率之积是$3$。
(1)求点$M$的轨迹$C$的方程；
(2)过点$N(2,3)$能否作一条直线$m$与轨迹$C$交于两点$P$，$Q$，且点$N$是线段$PQ$的中点？若能，求出直线$m$的方程；若不能，说明理由。

答案： 解　
(1)设$M(x,y)$，$x\neq\pm2$，$k_{AM}=\frac{y - 0}{x + 2}$，$k_{BM}=\frac{y - 0}{x - 2}$，$k_{AM}\cdot k_{BM}=3$，即$\frac{y - 0}{x + 2}\cdot\frac{y - 0}{x - 2}=3$。整理得，$3x^{2}-y^{2}=12(x\neq\pm2)$，即点$M$的轨迹$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1(x\neq\pm2)$。
(2)若能作出直线$m$，则直线$m$的斜率存在，设为$k$，设$P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，则$\begin{cases}\frac{x_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{1}^{2}}{12}=1\\\frac{x_{2}^{2}}{4}-\frac{y_{2}^{2}}{12}=1\end{cases}$两式相减得$\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{4}-\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{12}=0$，整理可得$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=3\times\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}$，因为$N$是线段$PQ$的中点，所以$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=3\times\frac{4}{6}=2$，即$k = 2$，故直线$m$的方程为$y - 3=2(x - 2)$，即$2x - y - 1=0$，将直线方程代入双曲线方程可得$x^{2}-4x + 13=0$，$\Delta=(-4)^{2}-4\times13＜0$，此时直线与双曲线不相交。故不能作出这样的直线。