《2025年赢在微点数学》

【变式训练】　已知椭圆C：$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b\geq1)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其上焦点到直线$bx + 2ay-\sqrt{2}=0$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点$P(\frac{1}{3},0)$的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过定点。若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由。

答案： 解　
(1)由题意，得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$a=\sqrt{2}b$，$c = b$。又$\frac{|2ac-\sqrt{2}|}{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，$a＞b\geqslant1$，所以$b^{2}=1$，$a^{2}=2$，故椭圆$C$的方程为$\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$。
(2)当$AB\perp x$轴时，以线段$AB$为直径的圆的方程为$(x-\frac{1}{3})^{2}+y^{2}=\frac{16}{9}$。当$AB\perp y$轴时，以线段$AB$为直径的圆的方程为$x^{2}+y^{2}=1$。可得两圆交点为$Q(-1,0)$。由此可知，若以线段$AB$为直径的圆恒过定点，则该定点为$Q(-1,0)$。下证点$Q(-1,0)$符合题意。设直线$l$的斜率存在，且不为$0$，其方程为$y = k(x-\frac{1}{3})$，代入$\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$，并整理得$(k^{2}+2)x^{2}-\frac{2}{3}k^{2}x+\frac{1}{9}k^{2}-2 = 0$，设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}}{3(k^{2}+2)}$，$x_{1}x_{2}=\frac{k^{2}-18}{9(k^{2}+2)}$，所以$\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1+k^{2}(x_{1}-\frac{1}{3})(x_{2}-\frac{1}{3})=(1 + k^{2})x_{1}x_{2}+(1-\frac{1}{3}k^{2})(x_{1}+x_{2})+1+\frac{1}{9}k^{2}=(1 + k^{2})\cdot\frac{k^{2}-18}{9(k^{2}+2)}+(1-\frac{1}{3}k^{2})\cdot\frac{2k^{2}}{3(k^{2}+2)}+1+\frac{1}{9}k^{2}=0$，故$\overrightarrow{QA}\perp\overrightarrow{QB}$，即点$Q(-1,0)$在以线段$AB$为直径的圆上。综上，以线段$AB$为直径的圆恒过定点$(-1,0)$。

[例1]　(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(−2√5,0)，离心率为√5。
　(1)求C的方程;
　(2)记C的左、右顶点分别为A₁，A₂，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA₁与NA₂交于点P，证明：点P在定直线上。

答案：

(1)设双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$。
思维点1:待定系数法求方程的关键是先定型，再定量。由焦点坐标可知$c = 2\sqrt{5}$，由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$，可得$a = 2$，$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}} = 4$，
所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$。
(2)证明:如图，
　　　　　　
　思维点2:形象思维，将文字语言和符号语言翻译成图形语言，以形助数。
　由
(1)可得$A_{1}(-2,0)$，$A_{2}(2,0)$，设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，显然直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为$x = my - 4$，
　思维点3:表示点P的关键是引入合适的参数，设参时要充分利用直线过定点的特征。
　且$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{2}$，与$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$联立，
　可得$(4m^{2}-1)y^{2}-32my + 48 = 0$，
　且$\Delta = 64(4m^{2}+3)＞0$，
　则$y_{1}+y_{2}=\frac{32m}{4m^{2}-1}$，$y_{1}y_{2}=\frac{48}{4m^{2}-1}$，
　且$my_{1}y_{2}=\frac{3}{2}(y_{1}+y_{2})$。
　直线$MA_{1}$的方程为$y=\frac{y_{1}(x + 2)}{x_{1}+2}$，直线$NA_{2}$的方程为$y=\frac{y_{2}(x - 2)}{x_{2}-2}$，
　联立直线$MA_{1}$与直线$NA_{2}$的方程，
　可得$\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{y_{2}(x_{1}+2)}{y_{1}(x_{2}-2)}=\frac{y_{2}(my_{1}-2)}{y_{1}(my_{2}-6)}=\frac{my_{1}y_{2}-2y_{2}}{my_{1}y_{2}-6y_{1}}=\frac{\frac{3}{2}(y_{1}+y_{2})-2y_{2}}{\frac{3}{2}(y_{1}+y_{2})-6y_{1}}=-\frac{1}{3}$，
　思维点4:利用引入的参数，借助直曲联立、交轨法等表示出点P的横坐标。
　解得$x = - 1$，即$x_{P}=-1$。
　所以点P在定直线$x = - 1$上运动。