《2025年赢在微点数学》

4. 如图，平面α//平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB，若PC = 2,CA = 3,CD = 1，则AB = ________。

答案： $\frac{5}{2}$ 解析 因为$\alpha//\beta$，$\triangle PAB$所在的平面与$\alpha,\beta$分别交于$CD,AB$，所以$CD// AB$，所以$\frac{PC}{PA}=\frac{CD}{AB}$，又因为$PC = 2$，$CA = 3$，$CD = 1$，所以$AB=\frac{5}{2}$。

5. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________。

答案： 平行四边形 解析 因为平面$ABFE//$平面$DCGH$，又平面$EFGH\cap$平面$ABFE = EF$，平面$EFGH\cap$平面$DCGH = HG$，所以$EF// HG$。同理，$EH// FG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。

[例1]　(1)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC和平面DEF的位置关系是(　　)
A. 平行
B. 相交
C. 在平面内
D. 不能确定

答案：
A　解析　如图,由$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FB}$，得$AC// EF$。又因为$EF\subset$平面$DEF$，$AC\not\subset$平面$DEF$，所以$AC//$平面$DEF$。故选A。
　　　　　　　　　　　

(2)如图,直四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，E,M,N分别是BC,BB₁，A₁D的中点。证明:MN//平面C₁DE。

答案：
证明　如图,连接$B_1C$，$ME$。因为$M$，$E$分别是$BB_1$，$BC$的中点，所以$ME// B_1C$，且$ME = \frac{1}{2}B_1C$。因为$N$为$A_1D$的中点，所以$ND=\frac{1}{2}A_1D$。由题设知$A_1B_1\perp DC$，可得$B_1C\equalparallel A_1D$，故$ME\equalparallel ND$，所以四边形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$MNDE$为平行四边形，所以$MN// ED$。又$MN\not\subset$平面$C_1DE$，$DE\subset$平面$C_1DE$，所以$MN//$平面$C_1DE$。