《2025年赢在微点数学》

1. 设$M = 2a(a - 2)$，$N = (a + 1)(a - 3)$，则有（ ）
A. $M＞N$
B. $M\geqslant N$
C. $M＜N$
D. $M\leqslant N$

答案： A 解析：因为 $M - N = 2a(a - 2)-(a + 1)(a - 3)=a^{2}-2a + 3=(a - 1)^{2}+2＞0$，所以 $M ＞ N$。故选 A。

2. 如果$ac＞bc$，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. $ac^{2}＞bc^{2}$
B. $a＞b$
C. $a + c＞b + c$
D. $\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$

答案： D 解析：若 $c ＜ 0$，则 $a ＜ b$，所以 $ac^{2}＜bc^{2}$，$a + c ＜ b + c$，A，B，C 均错；因为 $ac ＞ bc$，又 $c^{2}＞0$，则 $\frac{ac}{c^{2}}＞\frac{bc}{c^{2}}$，即 $\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$，故 D 正确。

3. 如果$x + y＜0$，且$y＞0$，那么下列不等式成立的是（ ）
A. $y^{2}＞x^{2}＞-xy$
B. $x^{2}＞y^{2}＞-xy$
C. $x^{2}＜-xy＜y^{2}$
D. $x^{2}＞-xy＞y^{2}$

答案： D 解析：因为 $x + y ＜ 0$，$y ＞ 0$，所以 $x ＜ -y ＜ 0 ＜ y$。在不等式 $x ＜ -y$ 两边同时乘以 $x$，得 $x^{2} ＞ -xy$。在不等式 $x ＜ -y$ 两边同时乘以 $y$，得 $xy ＜ -y^{2}$，则 $-xy ＞ y^{2}$。所以 $x^{2} ＞ -xy ＞ y^{2}$。故选 D。

4. 已知$M = x^{2}-3x$，$N = -3x^{2}+x - 3$，则$M$，$N$的大小关系是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ }$。

答案： M ＞ N@@D 解析：$M - N=(x^{2}-3x)-(-3x^{2}+x - 3)=4x^{2}-4x + 3=(2x - 1)^{2}+2＞0$，所以 $M ＞ N$。

5. 已知$-1＜a＜2$，$-3＜b＜5$，则$a + 2b$的取值范围是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ }$。

答案： (-7,12)@@解析：因为 $-3 ＜ b ＜ 5$，所以 $-6 ＜ 2b ＜ 10$，又 $-1 ＜ a ＜ 2$，所以 $-7 ＜ a + 2b ＜ 12$。

【例1
（1）已知$p\in\mathbf{R},M=(2p + 1)(p - 3)$，$N=(p - 6)(p + 3)+10$，则$M$，$N$的大小关系为 （ ）
A. $M＜N$ B. $M＞N$
C. $M\leq N$ D. $M\geq N$

答案： B

（2）若$a＞b＞1$，$P = a\text{e}^b$，$Q = b\text{e}^a$，则$P$，$Q$的大小关系是 （ ）
A. $P＞Q$ B. $P = Q$
C. $P＜Q$ D. 不能确定

答案： C

【变式训练】（1）已知$a$，$b$为不相等的实数，记$M = a^2 - ab$，$N = ab - b^2$，则$M$与$N$的大小关系为 （ ）
A. $M＞N$ B. $M = N$
C. $M＜N$ D. 不确定

答案： A

（2）若$a = \frac{\ln 3}{3}$，$b = \frac{\ln 2}{2}$，则$a$与$b$的大小关系是________。

答案： $a＞b$

【例2】
（1）已知$a＞b＞c＞0$，下列结论正确的是 （ ）
A. $2a＜b + c$ B. $a(b - c)＞b(a - c)$
C. $\frac{1}{a - c}＞\frac{1}{b - c}$ D. $(a - c)^3＞(b - c)^3$

答案： D

（2）(多选题)若$a＞0＞b＞-a$，$c＜d＜0$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $ad＞bc$
B. $\frac{a}{d}+\frac{b}{c}＜0$
C. $a - c＞b - d$
D. $a(d - c)＞b(d - c)$

答案： BCD