《2025年赢在微点数学》

【典例2】 将函数$f(x)=\sin(2\omega x+\varphi)(\omega＞0,\varphi\in[0,2\pi])$图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数$g(x)$，函数$g(x)$的部分图象如图所示，且$g(x)$在$[0,2\pi]$上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为 - 1），则ω的取值范围是（ ）
A. $(\frac{7}{12},\frac{13}{12}]$ B. $[\frac{7}{12},\frac{13}{12})$
C. $[\frac{11}{12},\frac{17}{12})$ D. $(\frac{11}{12},\frac{17}{12}]$

答案： C

【训练2】 （2024·潍坊模拟）设函数$f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$。若$f(x)\leqslant f(\frac{\pi}{4})$对任意的实数$x$都成立，则ω的最小值为________。

答案： $\frac{2}{3}$ 解析 因为 $f(x)\leqslant f(\frac{\pi}{4})$ 对任意的实数 $x$ 都成立，所以当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$f(x)$ 取得最大值，即 $f(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4}\omega-\frac{\pi}{6}) = 1$，所以 $\frac{\pi}{4}\omega-\frac{\pi}{6}=2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以 $\omega = 8k+\frac{2}{3},k\in\mathbf{Z}$。因为 $\omega＞0$，所以当 $k = 0$ 时，$\omega$ 取得最小值 $\frac{2}{3}$。

【典例3】 （2023·东北三省四市联合体模拟）已知函数$f(x)=2\cos(\omega x-\frac{\pi}{3})+1(\omega＞0)$的图象在区间$(0,2\pi)$内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{5}{3}]$ B. $(\frac{2}{3},\frac{5}{3}]$
C. $[\frac{7}{6},\frac{5}{3})$ D. $[\frac{5}{3},+\infty)$

答案： A

【训练3】 已知函数$f(x)=\cos(\omega x+\frac{\pi}{3})(\omega＞0)$的一条对称轴为直线$x=\frac{\pi}{3}$，一个对称中心为点$(\frac{\pi}{12},0)$，则ω有（ ）

A. 最小值2
B. 最大值2
C. 最小值1
D. 最大值1

答案： A 解析 因为函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是 $\frac{T}{4}$，两条对称轴间的最短距离是 $\frac{T}{2}$，所以其图象的对称中心 $(\frac{\pi}{12},0)$ 到对称轴 $x = \frac{\pi}{3}$ 间的距离用周期可表示为 $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\geqslant\frac{T}{4}$，又因为 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，所以 $\frac{\frac{2\pi}{\omega}}{4}\leqslant\frac{\pi}{4}$，所以 $\omega\geqslant2$，所以 $\omega$ 有最小值 $2$。故选A。