《2025年赢在微点数学》

[例3] 已知正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别为BB₁，AB的中点，则三棱锥A -NMD₁的体积为________。

答案：
$\frac{1}{3}$ 解析 如图，因为正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，所以S△AMN = $\frac{1}{2}$×1×1 = $\frac{1}{2}$，所以VA - NMD1 = VD1 - AMN = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2 = $\frac{1}{3}$。

[例4] (一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，AD = AB = 4，BC = 2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为________。

答案：
6 解析 解法一(分割法)：如图，过点C作CM平行于AB，交AD于点M，作CN平行于BE，交EF于点N，连接MN。由题意可知四边形ABCM，BENC都是矩形，AM = DM = 2，CN = 2，FN = 1，AB = CM = 2$\sqrt{2}$，所以S△AEB = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2，因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE - MCN和四棱锥C - MNFD，又因为直三棱柱ABE - MCN的体积为V1 = S△ABE·AM = $\frac{1}{2}$×2×2×2 = 4，四棱锥C - MNFD的体积为V2 = $\frac{1}{3}$S四边形MNFD·BE = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×(1 + 2)×2×2 = 2，所以所求几何体的体积为V1 + V2 = 6。

解法二(分割法)：如图，连接AC，EC，则几何体分割为四棱锥C - ADFE和三棱锥C - ABE，因为VC - ADFE = $\frac{1}{3}$×($\frac{3 + 4}{2}$×2)×2 = $\frac{14}{3}$，VC - ABE = $\frac{1}{3}$×($\frac{1}{2}$×2×2)×2 = $\frac{4}{3}$，所以几何体的体积为VC - ADFE + VC - ABE = $\frac{14}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = 6。

解法三(补形法)：如图，延长BC至点M，使得CM = 2，延长EF至点N，使得FN = 1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE - DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE - DMN的体积减去四棱锥D - CMNF的体积。因为VABE - DMN = ($\frac{1}{2}$×2×2)×4 = 8，VD - CMNF = $\frac{1}{3}$×($\frac{1 + 2}{2}$×2)×2 = 2，所以几何体的体积为VABE - DMN - VD - CMNF = 8 - 2 = 6。

1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为$\sqrt{3}$，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB = 120°，若△PAB的面积等于$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为 （ ）
A.π B.$\sqrt{6}$π
C.3π D.3$\sqrt{6}$π

答案：
1.B 解析 在△AOB中，∠AOB = 120°，而OA = OB = $\sqrt{3}$，取AB的中点C，连接OC，PC，则OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO = 30°，OC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB = 2BC = 3，由△PAB的面积为\frac{9\sqrt{3}}{4}，得$\frac{1}{2}$×3×PC = \frac{9\sqrt{3}}{4}，解得PC = \frac{3\sqrt{3}}{2}，于是PO = $\sqrt{PC^{2}-OC^{2}}$ = \sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = $\sqrt{6}$，所以圆锥的体积V = $\frac{1}{3}$π×OA²×PO = $\frac{1}{3}$π×($\sqrt{3}$)²×$\sqrt{6}$ = $\sqrt{6}$π。故选B。

2.如图，直三棱柱ABC -A₁B₁C₁的各棱长均为2，D为棱B₁C₁上任意一点，则三棱锥D -A₁BC的体积是________。

答案： 2.\frac{2\sqrt{3}}{3} 解析 因为D为棱B1C1上任意一点，所以S△BCD = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2。又点A1到平面BCC1B1的距离d = $\sqrt{3}$，所以VD - A1BC = VA1 - BCD = $\frac{1}{3}$×2×$\sqrt{3}$ = \frac{2\sqrt{3}}{3}。

3.(2024·武汉市调研)半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体。如图，将正方体沿交于一顶点的3条棱的中点截去1个三棱锥，如此共可截去8个三棱锥，得到一个有14个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中8个面为正三角形，6个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体。则得到的二十四等边体与原正方体的体积的比值为________。

答案：
3.$\frac{5}{6}$ 解析 设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a³，标记部分点如图所示，则VA - BCD = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{2}$×$\frac{a}{2}$×$\frac{a}{2}$ = $\frac{a^{3}}{48}$，所以二十四等边体的体积为a³ - $\frac{a^{3}}{48}$×8 = a³ - $\frac{1}{6}$a³ = $\frac{5}{6}$a³，所以二十四等边体与原正方体的体积的比值为$\frac{5}{6}$。