《2025年赢在微点数学》

　(2)设$\theta$为第二象限角，则下列结论一定成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\sin\frac{\theta}{2}\gt0$　　　　
　B. $\cos\frac{\theta}{2}\gt0$
C. $\tan\frac{\theta}{2}\gt0$　　　　
　D. $\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\lt0$

答案：
(2)C　解析　因为$\theta$为第二象限角，所以$\frac{\pi}{2}+2k\pi＜\theta＜\pi+2k\pi,k\in Z$。则$\frac{\pi}{4}+k\pi＜\frac{\theta}{2}＜\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$，所以$\frac{\theta}{2}$为第一或第三象限角，则$\tan\frac{\theta}{2}＞0$。故选C。

1. (多选题)(2023·石家庄二模)在平面直角坐标系中，角$\alpha$的顶点和坐标原点重合，始边和$x$轴的非负半轴重合，终边经过一点$P(\frac{\sqrt{5}}{2},x)$，且$\sin\alpha=\frac{2}{3}x$，则$x$的值可以是(　　　)
A. $\pm\sqrt{2}$　
　B. $\pm1$　
　C. 0　　
　D. $\pm2$

答案： BC　解析　由三角函数的定义可知，$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}+x^{2}}}=\frac{2}{3}x$，当$x = 0$时，符合题意；当$x\neq0$时，可得$\frac{5}{4}+x^{2}=\frac{9}{4}$，所以$x=\pm1$。故选BC。

2. $\sin2\cos3\tan4$的值　　　　　　　　　(　　　)
A. 小于0　　　　　
　B. 大于0
C. 等于0　　　　　　
　D. 不存在

答案： A　解析　因为$\frac{\pi}{2}＜2＜3＜\pi＜4＜\frac{3\pi}{2}$，所以$\sin2＞0,\cos3＜0,\tan4＞0$，所以$\sin2\cos3\tan4＜0$。故选A。

3. 设角$\alpha$是第三象限角，且$\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| = -\sin\frac{\alpha}{2}$，则角$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限是　　　　　(　　　)
A. 第一象限　　　　
　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　
　D. 第四象限

答案： D　解析　因为角$\alpha$是第三象限角，所以$\pi+2k\pi＜\alpha＜\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$，所以$\frac{\pi}{2}+k\pi＜\frac{\alpha}{2}＜\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in Z$，故当$k = 2n,n\in Z$时，$2n\pi+\frac{\pi}{2}＜\frac{\alpha}{2}＜2n\pi+\frac{3\pi}{4},n\in Z$，则角$\frac{\alpha}{2}$为第二象限角；当$k = 2n + 1,n\in Z$时，$2n\pi+\frac{3\pi}{2}＜\frac{\alpha}{2}＜2n\pi+\frac{7\pi}{4},n\in Z$，则角$\frac{\alpha}{2}$为第四象限角。综上，角$\frac{\alpha}{2}$是第二或第四象限角。又$|\sin\frac{\alpha}{2}|=-\sin\frac{\alpha}{2}$，即$\sin\frac{\alpha}{2}＜0$，所以角$\frac{\alpha}{2}$是第四象限角。故选D。

[典例]　(2024·杭州模拟)如图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展。如图②是会徽的几何图形，设弧$AD$的长度是$l_1$，弧$BC$的长度是$l_2$，几何图形$ABCD$面积为$S_1$，扇形$BOC$面积为$S_2$，若$\frac{l_1}{l_2}=2$，则$\frac{S_1}{S_2}=$　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　
A. 3　　　
　B. 4　　　
　C. 1　　　
　D. 2

答案： A　解析　设$\angle BOC=\alpha$，由$\frac{l_{1}}{l_{2}} = 2$，得$\frac{OA\cdot\alpha}{OB\cdot\alpha}=\frac{OA}{OB}=2$，即$OA = 2OB$，则$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}\alpha\cdot OA^{2}-\frac{1}{2}\alpha\cdot OB^{2}}{\frac{1}{2}\alpha\cdot OB^{2}}=\frac{OA^{2}-OB^{2}}{OB^{2}}=\frac{4OB^{2}-OB^{2}}{OB^{2}} = 3$。故选A。