《2025年赢在微点数学》

[例3]某年春节期间，$G$市某天$8～16$时的温度(单位：$^{\circ}C$)变化曲线(如图)近似满足函数$f(x) = 2\sqrt{2}\cos(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \pi,x\in[8,16])$的图象。下列说法正确的是 （ ）

A.$8～13$时这段时间温度逐渐升高
B.$8～16$时最大温差不超过$5^{\circ}C$
C.$8～16$时$0^{\circ}C$以下的时长恰为3小时
D.$16$时温度为$-2^{\circ}C$

答案： [例3]D解析对于A，由题图知，8～13时这段时间温度先降后升，故A不正确；对于B，8～16时这段时间的最大温差为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\gt5$，故B不正确；对于C，因为当$x = 13$时，$f(x)$取得最大值，$13 - 11 = 15 - 13$，所以$f(15)=f(11)=0$，所以8～16时$0^{\circ}C$以下的时长为$(11 - 8)+(16 - 15)=4$（小时），故C不正确；对于D，由题图知，函数$y = 2\sqrt{2}\cos(\omega x+\varphi)$的最小正周期$T = 4\times(13 - 11)=8$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{4}$，所以$f(x)=2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}x+\varphi)(x\in[8,16])$，将点$(13,2\sqrt{2})$代入，得$2\sqrt{2}\cos(\frac{13\pi}{4}+\varphi)=2\sqrt{2}$，即$\cos(\frac{13\pi}{4}+\varphi)=1$，所以$\frac{13\pi}{4}+\varphi=2k\pi(k\in Z)$，得$\varphi=2k\pi-\frac{13\pi}{4}(k\in Z)$，又$0\lt\varphi\lt\pi$，所以$\varphi=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(x)=2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}x+\frac{3\pi}{4})(x\in[8,16])$，$f(16)=2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}\times16+\frac{3\pi}{4})=2\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=2\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-2$，故D正确。故选D。

1.(2024·广东韶关模拟)函数$f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，将函数$f(x)$图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{\omega}{2}$(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到$y = g(x)$的图象，则下列说法不正确的是 （ ）

A.函数$g(x)$的最小正周期为$\pi$
B.函数$g(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上单调递增
C.函数$g(x)$的一个极值点为$x = \frac{\pi}{12}$
D.函数$g(x)$的一个零点为$x = -\frac{\pi}{6}$

答案： [题组对点练]
1.B解析由题图可知$A = 3$，$\frac{1}{4}T=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=1$（$T$为函数$f(x)$的最小正周期），所以$T = 4$，又$T=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$\omega=\frac{\pi}{2}$。因为$f(\frac{2}{3})=3$，所以$3\sin(\frac{\pi}{2}\times\frac{2}{3}+\varphi)=3$，所以$\frac{\pi}{3}+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in Z$，所以$\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{6}$，$k\in Z$。因为$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$，故$f(x)=3\sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{6})$。将函数$f(x)$图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{\omega}{2}$（纵坐标不变），得到$y = 3\sin(\frac{\pi}{2}\times\frac{4}{\pi}x+\frac{\pi}{6})=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$的图象，再向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到$y = 3\sin[2(x+\frac{\pi}{12})+\frac{\pi}{6}]=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象，故$g(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$。对于A，$g(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$，故A正确；对于B，因为$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，所以$\frac{\pi}{3}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{4\pi}{3}$，则$g(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上不单调，故B错误；对于C，令$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in Z$，得$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}$，$k\in Z$，当$k = 0$时，得函数$g(x)$的一个极值点为$x=\frac{\pi}{12}$，所以C正确；对于D，令$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi$，$k\in Z$，得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}$，$k\in Z$，当$k = 0$时，得函数$g(x)$的一个零点为$x=-\frac{\pi}{6}$，所以D正确。故选B。

2.(多选题)如图所示，一个质点在半径为2的圆$O$上以点$P$为起始点，沿逆时针方向运动，每3 s转一圈。则该质点到$x$轴的距离关于时间$t$的函数记为$f(t)$。下列说法正确的是 （ ）

A.$f(t) = |2\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{4})|$
B.$f(t) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{4})$
C.$f(t)$的最小正周期为$\frac{3}{2}$
D.$f(t)$的最小正周期为3

答案： 2.AC解析由题可知，质点的角速度为$\frac{2\pi}{3}rad/s$，因为点$P$为起始点，沿逆时针方向运动，设经过时间$t\ s$之后所成角为$\varphi$，则$\varphi=\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi}{4}$，根据任意角的三角函数定义有$y_P = 2\sin(\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi}{4})$，所以该质点到$x$轴的距离为$f(t)=\vert2\sin(\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi}{4})\vert$，故A正确，B错误；因为$f(t)=\vert2\sin(\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi}{4})\vert$，所以$f(t)$的最小正周期为$\frac{\pi}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{3}{2}$，故C正确，D错误。故选AC。