《2025年赢在微点数学》

1.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　
　B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　　
　C.$-\frac{1}{2}$　
　D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
关键能力.突破
1.A　解析　取BD的中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD。又平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面CBD，又OC⊂平面CBD，则AO⊥CO。设正方形的对角线长度为2，如图所示,建立空间直角坐标系，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(−1,0,0),所以$\overrightarrow{AB}=(1,0, - 1)$，$\overrightarrow{CD}=( - 1, - 1,0)$，$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{ - 1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$。所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$。故选A。

2.(2024·海南华侨中学模拟)如图，在三棱锥M - ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，MA = 2$\sqrt{3}$，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是　　　　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　
　B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$　　
　C.$\frac{\sqrt{13}}{8}$　
　D.$\frac{5}{8}$

答案：
2.D解析　以A为原点,AC,AM所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,易知A(0,0,0),B($\sqrt{3}$,1,0),F(0,1,$\sqrt{3}$),M(0,0,2$\sqrt{3}$),所以$\overrightarrow{MB}=(\sqrt{3},1, - 2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AF}=(0,1,\sqrt{3})$。设异面直线MB与AF所成角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AF}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{MB}||\overrightarrow{AF}|}=\frac{| - 5|}{4\times2}=\frac{5}{8}$，所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为$\frac{5}{8}$。故选D。

3.如图，在正三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AB = AA₁ = 2，E，F分别是BC，A₁C₁的中点。设D是线段B₁C₁上的（包括两个端点）动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$时，线段BD的长为________。
　　　　　　　

答案：
3.$2\sqrt{2}$　解析　如图，以E为原点建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),F($\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2),B(0,−1,0),设D(0,t,2)(−1≤t≤1),则$\overrightarrow{EF}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},2)$，$\overrightarrow{BD}=(0,t + 1,2)$，设直线BD与EF所成角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{|\frac{t + 1}{2}+4|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{(t + 1)^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，即23$t^{2}$+14t - 37 = 0，解得t = 1或t = -$\frac{37}{23}$(舍去)，所以$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$。

[例1]　(2023·重庆市二模)如图，在四棱锥P - ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，M为PB的中点。
(1)求证：EM//平面PCD；
(2)若AP = AD，AB = $\sqrt{2}$AD，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值。
　　　　　　　　　　　　

答案：
[例1]　解　
(1)证明:如图,取PC的中点为F,连接MF,DF,则MF//BC//DE,且MF=$\frac{1}{2}$BC = DE,所以四边形DEMF是平行四边形，所以DF//EM,因为DF⊂平面PCD,EM⊄平面PCD,所以EM//平面PCD。

(2)因为AD⊥平面PAB,PA,PB⊂平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥PB。以A为原点,以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴,AB,AD所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系A - xyz,如图所示。设AD = 2,则AP = 2,AB = 2$\sqrt{2}$,因为PA⊥PB,所以∠PAB = 45°。所以P($\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0),D(0,0,2),B(0,2$\sqrt{2}$，0),E(0,0,1),C(0，2$\sqrt{2}$，2),M($\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0),所以$\overrightarrow{EC}=(0,2\sqrt{2},1)$，$\overrightarrow{PC}=( - \sqrt{2},\sqrt{2},2)$，$\overrightarrow{EM}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}, - 1)$。设平面PCE的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PC}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}- \sqrt{2}x+\sqrt{2}y + 2z = 0\\2\sqrt{2}y+z = 0\end{cases}$，不妨令y = - 1，得z = 2$\sqrt{2}$，x = 3，所以$\boldsymbol{n}=(3, - 1,2\sqrt{2})$是平面PCE的一个法向量，设直线EM与平面PCE所成的角为$\theta$，则$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{EM},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{EM}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{EM}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}\times3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$，所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$。