《2025年赢在微点数学》

1. -870°角的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

答案： C 解析 因为$-870^{\circ}=-1080^{\circ}+210^{\circ}$,所以$-870^{\circ}$角的终边在第三象限。故选 C。

2. 已知角α的终边过点P(-1,2)，则sinα = （ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ D. -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： B 解析 因为$|OP|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ ($O$为坐标原点),所以$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。故选 B。

3. 若角θ同时满足sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

答案： D 解析 由$\sin\theta\lt0$,可知$\theta$的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与$y$轴的非正半轴重合。由$\tan\theta\lt0$,可知$\theta$的终边可能位于第二象限或第四象限,故$\theta$的终边只能位于第四象限。故选 D。

4.（多选题）下列与$\frac{9\pi}{4}$的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A. 2kπ - 45°(k∈Z)
B. k·360° + $\frac{9}{4}\pi$(k∈Z)
C. 2kπ + $\frac{\pi}{4}$(k∈Z)
D. k·360° + 45°(k∈Z)

答案： CD 解析 因为$\frac{\pi}{4}$的终边与$\frac{9\pi}{4}$的终边相同,所以与$\frac{9\pi}{4}$的终边相同的角可以写成$2k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$或$k\cdot360^{\circ}+45^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$。故选 CD。

5. 单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______，由该弧及半径围成的扇形的面积为______。

答案： $\frac{10\pi}{9}$ $\frac{5\pi}{9}$ 解析 单位圆的半径$r = 1$,$200^{\circ}$的弧度数是$200\times\frac{\pi}{180}=\frac{10\pi}{9}$,由弧度数的定义,得$\frac{10\pi}{9}=\frac{l}{r}$,所以$l=\frac{10\pi}{9}$,$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\times\frac{10\pi}{9}\times1=\frac{5\pi}{9}$。

1. (多选题)下列四个命题中正确的是　　(　　　)
A. $-\frac{3\pi}{4}$是第二象限角
B. $\frac{4\pi}{3}$是第三象限角
C. $-400^{\circ}$是第四象限角
D. $-315^{\circ}$是第一象限角

答案： BCD　解析　-$\frac{3\pi}{4}$是第三象限角，故A错误；$\frac{4\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}$，所以$\frac{4\pi}{3}$是第三象限角，故B正确；$-400^{\circ}=-360^{\circ}-40^{\circ}$，所以$-400^{\circ}$是第四象限角，故C正确；$-315^{\circ}=-360^{\circ}+45^{\circ}$，所以$-315^{\circ}$是第一象限角，故D正确，故选BCD。

2. 集合$\left\{\alpha\mid k\pi+\frac{\pi}{4}\leqslant\alpha\leqslant k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$中的角所表示的范围(阴影部分)是　　　　　　(　　　)
　　　
　　　

答案： C　解析　当$k = 2n$时，$2n\pi+\frac{\pi}{4}\leq\alpha\leq2n\pi+\frac{\pi}{2}(n\in Z)$，此时$\alpha$的终边和$\frac{\pi}{4}\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}$的终边一样。当$k = 2n + 1$时，$2n\pi+\pi+\frac{\pi}{4}\leq\alpha\leq2n\pi+\pi+\frac{\pi}{2}(n\in Z)$，此时$\alpha$的终边和$\pi+\frac{\pi}{4}\leq\alpha\leq\pi+\frac{\pi}{2}$的终边一样。故选C。

3. 若$\alpha$是第一象限角，则$-\frac{\alpha}{2}$是　　　　　(　　　)
A. 第一象限角
B. 第一或第四象限角
C. 第二象限角
D. 第二或第四象限角

答案： D　解析　由题意知，$k\cdot360^{\circ}＜\alpha＜k\cdot360^{\circ}+90^{\circ},k\in Z$，则$k\cdot180^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜k\cdot180^{\circ}+45^{\circ},k\in Z$，所以$-k\cdot180^{\circ}-45^{\circ}＜-\frac{\alpha}{2}＜-k\cdot180^{\circ},k\in Z$。当$k$为偶数时，$-\frac{\alpha}{2}$为第四象限角；当$k$为奇数时，$-\frac{\alpha}{2}$为第二象限角。所以$-\frac{\alpha}{2}$是第二或第四象限角。故选D。

4. 终边在直线$y = \sqrt{3}x$上，且在$[-2\pi,2\pi)$内的角$\alpha$的集合为______________________。

答案： $\{-\frac{5}{3}\pi,-\frac{2}{3}\pi,\frac{\pi}{3},\frac{4}{3}\pi\}$　解析　在坐标系中画出直线$y = \sqrt{3}x$，可以发现它与$x$轴的夹角为$\frac{\pi}{3}$，在$[0,2\pi)$内，终边在直线$y = \sqrt{3}x$上的角有$\frac{\pi}{3}$和$\frac{4}{3}\pi$；在$[-2\pi,0)$内满足条件的角有$-\frac{2}{3}\pi$和$-\frac{5}{3}\pi$，故满足条件的角$\alpha$构成的集合为$\{-\frac{5}{3}\pi,-\frac{2}{3}\pi,\frac{\pi}{3},\frac{4}{3}\pi\}$。