《2025年赢在微点数学》

[例1]　(1)(多选题)如图,直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点，则下列关系中正确的是　(　　)
A. PA⊥BC
B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB
D. PC⊥BC
　　　　　　　　　　　　　

答案： ABD　解析　AB为直径，C为圆上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC。因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，A正确。因为PA∩AC = A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC，所以B、D正确。显然C不正确。故选ABD。

(2)如图所示，在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC = 60°,PA = AB = BC,E是PC的中点。求证:
(i)CD⊥AE;
(ii)PD⊥平面ABE。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明　　(i)在四棱锥P−ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD。又因为AC⊥CD，PA∩AC = A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE。
　　(ii)由PA = AB = BC，∠ABC = 60°，可得AC = PA。因为E是PC的中点，所以AE⊥PC。由(i)知AE⊥CD，且PC∩CD = C，PC，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD。因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB。又因为AB⊥AD，且PA∩AD = A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD。因为AB∩AE = A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE。

[变式训练]　(1)过△ABC所在平面α外的一点P,作PO⊥α,垂足为点O,若点P到直线AB,AC和BC的距离都相等，则点O是△ABC的　(　　)
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心

答案：
A　解析　如图，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PD⊥AC于点D，则PE = PF = PD，连接OD，OE，OF，又PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，PO⊥AB，PO⊥BC，又PO∩PD = P，PO∩PE = P，PO∩PF = P，所以AC⊥平面POD，AB⊥平面POE，BC⊥平面POF，又OD⊂平面POD，OE⊂平面POE，OF⊂平面POF，所以AC⊥OD，AB⊥OE，BC⊥OF。在Rt△POD，Rt△POE，Rt△POF中，OD = $\sqrt{PD^{2}-PO^{2}}$，OE = $\sqrt{PE^{2}-PO^{2}}$，OF = $\sqrt{PF^{2}-PO^{2}}$，所以OD = OE = OF，故O一定是△ABC的内心。故选A。

(2)如图所示，在直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中，AB = AC = AA₁ = 3，BC = 2，D是BC的中点，F是CC₁上一点。当CF = 2时,证明:B₁F⊥平面ADF。
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明　因为AB = AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC。在直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中，因为BB₁⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B₁B。因为BC∩B₁B = B，BC，B₁B⊂平面B₁BCC₁，所以AD⊥平面B₁BCC₁。因为B₁F⊂平面B₁BCC₁，所以AD⊥B₁F。
　证法一：在矩形B₁BCC₁中，因为C₁F = CD = 1，B₁C₁ = CF = 2，所以Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，所以∠CFD = ∠C₁B₁F，所以∠B₁FD = 90°，所以B₁F⊥FD。因为AD∩FD = D，AD，FD⊂平面ADF，所以B₁F⊥平面ADF。
　证法二：连接B₁D(图略)，在Rt△B₁BD中，BD = CD = 1，BB₁ = 3，所以B₁D = $\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}$ = $\sqrt{10}$。在Rt△B₁C₁F中，B₁C₁ = 2，C₁F = 1，所以B₁F = $\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}F^{2}}$ = $\sqrt{5}$。在Rt△DCF中，CF = 2，CD = 1，所以DF = $\sqrt{CD^{2}+CF^{2}}$ = $\sqrt{5}$。显然DF² + B₁F² = B₁D²，所以∠B₁FD = 90°。所以B₁F⊥FD。因为AD∩FD = D，AD，FD⊂平面ADF，所以B₁F⊥平面ADF。