《2025年赢在微点数学》

【变式训练】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD = ________ m。

答案： 100$\sqrt{6}$　解析　由题意,在△ABC中,∠BAC = 30°,∠ABC = 105°,∠ACB = 45°,AB = 600m。在△BCD中,可得BC = $\sqrt{3}$CD。在△ABC中,根据正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}CD}{\sin 30°}=\frac{600}{\sin 45°}$，解得CD = 100$\sqrt{6}$(m)。

【例2】（2023·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知△ABC的面积为$\sqrt{3}$，D为BC的中点，且AD = 1。
（1）若∠ADC = $\frac{\pi}{3}$，求tan B；
（2）若$b^{2}+c^{2}=8$，求b，c。

答案： （1）因为AD为△ABC的中线，所以$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ADC}=2\times\frac{1}{2}AD\cdot DC\sin\angle ADC$
思维点1：整合已知的面积、边、角以及中点等信息，数量关系方程化，选择△ADC应用面积公式，求a。
$2\times\frac{1}{2}\times1\times\frac{a}{2}\times\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a=\sqrt{3}$，故a = 4。
在△ADB中，由余弦定理，得$AB^{2}=c^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2AD\cdot BD\cos\angle BDA$，
即$c^{2}=1^{2}+2^{2}-2\times1\times2\times(-\frac{1}{2}) = 7$，得$c = \sqrt{7}$。
在△ABD中，$\cos B=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2AB\cdot BD}=$
思维点2：要求$\cos B$，又已知BD和$\angle BDA$，选择△ABD应用余弦定理进行求解。
$\frac{7 + 4 - 1}{2\sqrt{7}\times2}=\frac{5}{2\sqrt{7}}＞0$，
故$B\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
（2）在△ABC中，由$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
得$|\overrightarrow{AD}|^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^{2}=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})$。
由余弦定理，得$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}-|\overrightarrow{BC}|^{2}$。
思维点3：寻找有关b和c的等量关系，应用向量加法的平行四边形法则和余弦定理求a。
故$|\overrightarrow{AD}|^{2}=\frac{1}{4}(2|\overrightarrow{AB}|^{2}+2|\overrightarrow{AC}|^{2}-|\overrightarrow{BC}|^{2})$，
即$AD^{2}=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}a^{2}$，得$a = 2\sqrt{3}$。
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin\angle BAC$和$b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos\angle BAC$，
思维点4：要求b，c，还需要知道一个角，借助面积和余弦定理求$\angle BAC$。
得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})\tan\angle BAC$，
得$\tan\angle BAC=-\sqrt{3}＜0$，故$\angle BAC\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，有$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$。
又因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin\angle BAC$，
思维点5：由面积求bc。
所以bc = 4。
由$b^{2}+c^{2}=8$和bc = 4，得b = c = 2。