《2025年赢在微点数学》

【例2】 (2024·成都模拟)已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，对任意$x_{1},x_{2}\in(-\infty,0)$，均有
$(x_{1}-x_{2})[f(x_{1})-f(x_{2})]＜0$成立，若$a =f(\ln\sqrt{2}),b = f(3^{\frac{1}{3}}),c = f(e^{\frac{1}{3}})$，则$a,b,c$的
大小关系是
（ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $a ＜ c ＜ b$
C. $a ＜ b ＜ c$
D. $c ＜ a ＜ b$

答案： B

【例3】 (1)已知函数$f(x)=\begin{cases}2 - x,x ＜ 0,\\2 - x^{2},x\geq0,\end{cases}$则不等式$f(2a + 1)＞f(3a - 4)$的解集为（ ）
A. $(-\infty,-\frac{1}{2})$ B. $(-\frac{1}{2},+\infty)$
C. $(-\infty,5)$ D. $(5,+\infty)$

答案： D

(2)(2023·山东潍坊模拟)已知函数$f(x)=\ln x + e^{x}-\sin x$，则不等式$f(x - 1)\leq f(1)$
的解集为________。

答案： $(1,2]$

【例4】 (1)函数$f(x)=\frac{x^{2}-2}{x}-\ln(4 - x)$在
$x\in[1,3]$上的最大值为________。

答案： $\frac{7}{3}$

(2)已知函数$f(x)=\begin{cases}(3a - 1)x + 4a,x ＜ 1,\\\frac{a}{x},x\geq1,\end{cases}$
满足对任意的实数$x_{1},x_{2}$且$x_{1}\neq x_{2}$，都有
$[f(x_{1})-f(x_{2})](x_{1}-x_{2})＜0$，则实数$a$的
取值范围为________。

答案： $[\frac{1}{6},\frac{1}{3})$

1. 设函数$f(x)=(\frac{3}{2})^{|x|}+x^{2}$，若$a = f(\ln 3)$，
$b = f(-\log_{5}2),c = f(\frac{1}{\sqrt{e}})$($e$为自然对数的底
数)，则
（ ）
A. $a ＞ b ＞ c$
B. $c ＞ b ＞ a$
C. $c ＞ a ＞ b$
D. $a ＞ c ＞ b$

答案： D

2. 已知函数$f(x)=\frac{2}{x}-\log_{2}x$，则不等式$f(x)＞
0$的解集是
（ ）
A. $(0,1)$
B. $(-\infty,2)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(0,2)$

答案： D