《2025年赢在微点数学》

(1)已知$\boldsymbol{a}=(2,3,-4)$，$\boldsymbol{b}=(-4,-3,-2)$，$\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{a}$，则$\boldsymbol{x}$等于（ ）
A. $(0,3,-6)$
B. $(0,6,-20)$
C. $(0,6,-6)$
D. $(6,6,-6)$

答案： B　解析　由$b = \frac{1}{2}x - 2a$，得$x = 4a + 2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20)$。故选B。

(2)如图，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$AC$的中点。
　　　　　　　
　①化简$\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=$______；
②用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA_{1}}$表示$\overrightarrow{OC_{1}}$，则$\overrightarrow{OC_{1}}=$______。

答案： ①$\overrightarrow{A_{1}A}$　解析　①$\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A_{1}O}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{A_{1}O}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A_{1}O}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{A_{1}A}$。
@@②$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}$　解析　②因为$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$，所以$\overrightarrow{OC_{1}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}$。

[例2]　　如图所示，在斜三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，点$M$，$N$分别在$AC_{1}$和$BC$上，且满足$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC_{1}}$，$\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}(0\leqslant k\leqslant 1)$。
　(1)向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AA_{1}}$共面？
　(2)直线$MN$是否与平面$ABB_{1}A_{1}$平行？
　　　　　　　　　　　

答案：
(1)因为$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC_{1}},\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{C_{1}A}+\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}=k(\overrightarrow{C_{1}A}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{C_{1}A}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}})+\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{B_{1}A}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AB}-k(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AB})=(1 - k)\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AA_{1}}$，所以由共面向量定理知向量$\overrightarrow{MN}$与向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AA_{1}}$共面。
(2)当$k = 0$时，点$M$，$A$重合，点$N$，$B$重合，$MN$在平面$ABB_{1}A_{1}$内。当$0\lt k\leqslant1$时，$MN$不在平面$ABB_{1}A_{1}$内，又由
(1)知$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AA_{1}}$共面，所以$MN//$平面$ABB_{1}A_{1}$。

(1)若$A(-1,2,3)$，$B(2,1,4)$，$C(m,n,1)$三点共线，则$m + n =$______。

答案：
(1)−3　解析　因为$\overrightarrow{AB}=(3,-1,1),\overrightarrow{AC}=(m + 1,n - 2,-2)$，且$A$，$B$，$C$三点共线，所以存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$，即$(m + 1,n - 2,-2)=\lambda(3,-1,1)=(3\lambda,-\lambda,\lambda)$，所以$\begin{cases}m + 1 = 3\lambda\\n - 2 = -\lambda\\-2 = \lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda = - 2\\m = - 7\\n = 4\end{cases}$，所以$m + n = - 3$。

(2)已知$\boldsymbol{a}=(2,-1,3)$，$\boldsymbol{b}=(-1,4,-2)$，$\boldsymbol{c}=(7,5,\lambda)$，若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$三向量共面，则实数$\lambda =$______。

答案：
(2)$\frac{65}{7}$　解析　由题意，可设$a = xb + yc$，故$(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,\lambda)=(-x + 7y,4x + 5y,-2x+\lambda y)$，即$\begin{cases}-x + 7y = 2\\4x + 5y = - 1\\-2x+\lambda y = 3\end{cases}$，解得$\lambda=\frac{65}{7}$。