《2025年赢在微点数学》

1. 向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则____ =θ叫做向量a与b的夹角。
(2)范围：向量夹角θ的范围是____。
[微点清] 当a与b同向时θ=0°；a与b反向时，θ=180°；a与b垂直时，θ=90°。

答案：
(1)$\angle AOB$
(2)$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$

2. 平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量____叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b =____。
规定：零向量与任一向量的数量积为____。
(2)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作$\overrightarrow{OM}=a$，
　　　　　　　　　　　　 $\overrightarrow{ON}=b$，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则____就是向量a在向量b上的投影向量。设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则$\overrightarrow{OM_1}$与e，a，θ之间的关系为$\overrightarrow{OM_1}$=____。
(3)运算律
①a·b = b·a。
②(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)。
③(a + b)·c = ____。

答案：
(1)$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \theta$ $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \theta$ $0$
(2)$\overrightarrow{OM_{1}}$ $|\boldsymbol{a}|\cos \theta \boldsymbol{e}$
(3)③$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}$

3. 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ。
|结论|符号表示|坐标表示|
| ---- | ---- | ---- |
|模|$|a|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$|$|a|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$|
|夹角|$\cos\theta=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$|$\cos\theta=\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$|
|a⊥b的充要条件|$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$|$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$|
|$|a·b|$与$|a||b|$的关系|$|a·b|\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }|a||b|$|$|x_1x_2 + y_1y_2|\leq\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}$|

答案： $\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}}$ $\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$ $\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$ $\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0$ $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$ $\leqslant$