《2025年赢在微点数学》

设正方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，则点$D_1$到平面$A_1BD$的距离是（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案：
D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则$D_{1}(0,0,2)$，$A_{1}(2,0,2)$，$D(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{DA_{1}}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，设平面$A_{1}BD$的法向量为$n=(x,y,z)$，由$\begin{cases}\overrightarrow{DA_{1}}\cdot n = 0,\\\overrightarrow{DB}\cdot n = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x + z = 0,\\x + y = 0,\end{cases}$取$x = 1$，则$n=(1,-1,-1)$是平面$A_{1}BD$的一个法向量，所以点$D_{1}$到平面$A_{1}BD$的距离是$\frac{|\overrightarrow{DD_{1}}\cdot n|}{|n|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。故选 D。

已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若$\cos\langle m,n\rangle=-\frac{1}{2}$，则直线l与平面α所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

答案： A 解析 由于$\cos\langle m,n\rangle=-\frac{1}{2}$，所以$\langle m,n\rangle = 120^{\circ}$，所以直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$30^{\circ}$。故选 A。

如图，在长方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，$AD=AA_1=1$，$AB=3$，E为线段AB上一点，且$AE=\frac{1}{3}AB$，则$DC_1$与平面$D_1EC$所成角的正弦值为（ ）
　　　　　　
A. $\frac{3\sqrt{35}}{35}$ B. $\frac{2\sqrt{7}}{7}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案：
A 解析 如图，以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，则$C_{1}(0,3,1)$，$D_{1}(0,0,1)$，$E(1,1,0)$，$C(0,3,0)$，所以$\overrightarrow{DC_{1}}=(0,3,1)$，$\overrightarrow{D_{1}E}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{D_{1}C}=(0,3,-1)$。设平面$D_{1}EC$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{D_{1}E}=0,\\n\cdot\overrightarrow{D_{1}C}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}x + y - z = 0,\\3y - z = 0,\end{cases}$取$y = 1$，得$n=(2,1,3)$是平面$D_{1}EC$的一个法向量。所以$\cos\langle\overrightarrow{DC_{1}},n\rangle=\frac{\overrightarrow{DC_{1}}\cdot n}{|\overrightarrow{DC_{1}}||n|}=\frac{3\sqrt{35}}{35}$，所以$DC_{1}$与平面$D_{1}EC$所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{35}}{35}$。故选 A。

已知在正四棱柱ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$CC_1=2\sqrt{2}$，E为$CC_1$的中点，则直线$AC_1$到平面BED的距离为______。

答案：
1 解析 连接$AC$交$BD$于点$O$，连接$OE$。以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系(如图)，则$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$C_{1}(0,2,2\sqrt{2})$，$E(0,2,\sqrt{2})$，则$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,2,\sqrt{2})$，易知$AC_{1}//$平面$BDE$。设$n=(x,y,z)$是平面$BDE$的法向量，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{DB}=2x + 2y = 0,\\n\cdot\overrightarrow{DE}=2y+\sqrt{2}z = 0。\end{cases}$取$y = 1$，则$n=(-1,1,-\sqrt{2})$为平面$BDE$的一个法向量。又$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$，所以点$A$到平面$BDE$的距离是$\frac{|n\cdot\overrightarrow{DA}|}{|n|}=\frac{|-1\times2 + 0 + 0|}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}}=1$。故直线$AC_{1}$到平面$BED$的距离为 1。

在正方体ABCD - $A_1B_1C_1D_1$中，E为$BB_1$的中点，则平面$A_1ED$与平面ABCD的夹角的余弦值为______。

答案：
$\frac{2}{3}$ 解析 以$A$为原点，建立如图所示的空间直角坐标系$Axyz$，设棱长为 1，则$A_{1}(0,0,1)$，$E(1,0,\frac{1}{2})$，$D(0,1,0)$，所以$\overrightarrow{A_{1}D}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=(1,0,-\frac{1}{2})$。设平面$A_{1}ED$的法向量为$n_{1}=(1,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{A_{1}D}\cdot n_{1}=0,\\\overrightarrow{A_{1}E}\cdot n_{1}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}y - z = 0,\\1-\frac{1}{2}z = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}y = 2,\\z = 2,\end{cases}$故$n_{1}=(1,2,2)$是平面$A_{1}ED$的一个法向量。又平面$ABCD$的一个法向量为$n_{2}=(0,0,1)$，所以$\cos\langle n_{1},n_{2}\rangle=\frac{2}{3}$，故平面$A_{1}ED$与平面$ABCD$的夹角的余弦值为$\frac{2}{3}$。

[例1]　空间中有三点P(1,－2,－2),M(2,－3,1),N(3,－2,2),则点P到直线MN的距离为　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
A.2√2　
　B.2√3　
　C.3　　　
　D.2√5

答案： A解析　因为$\overrightarrow{MN}=(1,1,1)$，所以$\overrightarrow{MN}$的一个单位方向向量为$\boldsymbol{u}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1,1,1)$。因为$\overrightarrow{PM}=(1, - 1,3)$，故$|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{11}$，又$\overrightarrow{PM}\cdot\boldsymbol{u}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1 - 1 + 3)=\sqrt{3}$，所以点$P$到直线$MN$的距离为$\sqrt{\overrightarrow{PM}^{2}-(\overrightarrow{PM}\cdot\boldsymbol{u})^{2}}=\sqrt{11 - 3}=2\sqrt{2}$。故选A。

[变式训练]　　如图，在四棱锥P - ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB = AB = 2BC = 4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为　　　　　　　(　　)

A.2√3　　　　　　　
　B.2√5
C.√2　　　　　　　
　D.4

答案：
A　解析　如图,以B为原点，射线BC,BA,BP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),故$\overrightarrow{PC}=(2,0,-4)$，$\overrightarrow{PA}=(0,4,-4)$，取$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{PC}=(2,0,-4)$，$\overrightarrow{PA}$上的单位方向向量$\boldsymbol{u}=\frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PA}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1)$，则点C到直线PA的距离是$\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})^{2}}=\sqrt{20 - 8}=2\sqrt{3}$，即点C到直线PA的距离为$2\sqrt{3}$。故选A。