《2025年赢在微点数学》

【变式训练】（2024·华南师大附中模拟）在△ABC中，AB = 2AC，∠BAC的平分线交边BC于点D。
（1）证明：BC = 3CD；
（2）若AD = AC，且△ABC的面积为$6\sqrt{7}$，求BC的长。

答案： 解　
(1)证明:设∠BAD = α,∠BDA = β,则∠CAD = α,∠CDA = π - β。在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理,得$\frac{AB}{BD}=\frac{\sin β}{\sin α}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{\sin(π - β)}{\sin α}$，所以$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，又AB = 2AC，故BD = 2CD，所以BC = 3CD。
(2)设AB = 2AC = 2t，所以AD = AC = t。由$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$，可得$\frac{1}{2}·t·2t·\sin 2α=\frac{1}{2}·t·t·\sin α+\frac{1}{2}·2t·t·\sin α$，所以$4\sin α\cos α = 3\sin α$。因为$\sin α≠0$，所以$\cos α=\frac{3}{4}$，所以$\cos 2α = 2\cos^{2}α - 1=\frac{1}{8}$。又$0 ＜ 2α ＜ π$，所以$\sin 2α=\sqrt{1 - \cos^{2}2α}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$。所以$S_{△ABC}=6\sqrt{7}=\frac{1}{2}·t·2t·\sin 2α=\frac{3\sqrt{7}}{8}t^{2}$，所以$t^{2} = 16$，故$BC^{2} = t^{2} + 4t^{2} - 2×t×2t×\cos 2α=\frac{9}{2}t^{2}=\frac{9}{2}×16 = 72$，所以$BC = 6\sqrt{2}$。

【例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\tan A+\tan B=\frac{2\sin C}{\cos A}$。
（1）求角B的大小；
（2）若a + c = 4，求b的取值范围。

答案： 解　
(1)因为$\tan A + \tan B=\frac{2\sin C}{\cos A}$，所以$\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{2\sin C}{\cos A}$，所以$\frac{\sin A \cos B + \sin B \cos A}{\cos A \cos B}=\frac{2\sin C}{\cos A}$，所以$\frac{\sin(A + B)}{\cos A \cos B}=\frac{\sin C}{\cos A \cos B}=\frac{2\sin C}{\cos A}$，又$\sin C≠0$，所以$\cos B=\frac{1}{2}$。又$B∈(0,π)$且$B≠\frac{π}{2}$，所以$B=\frac{π}{3}$。
(2)因为$a + c = 4$，$B=\frac{π}{3}$，所以由余弦定理得$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac \cos B = a^{2} + c^{2} - ac = (a + c)^{2} - 3ac = 16 - 3ac$，则$ac=\frac{16 - b^{2}}{3}$。因为$a + c\geq2\sqrt{ac}$(当且仅当$a = c$时取等号)，所以$4\geq2\sqrt{ac}$，所以$0 ＜ ac\leq4$，即$0 ＜\frac{16 - b^{2}}{3}\leq4$，所以$4\leq b^{2} ＜ 16$，故$2\leq b ＜ 4$，即$b$的取值范围是$[2,4)$。