《2025年赢在微点数学》

[典例2]　已知两定点$P(-\frac{1}{2},0)$，$Q(m,0)(m＜-\frac{1}{2})$，动点$M$与定点$P$，$Q$的距离之比$\frac{|MQ|}{|MP|}=\lambda(\lambda＞0,\lambda\neq1)$，那么点$M$的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为$x^{2}+y^{2}=4$，则$\lambda + m$的值为________。

答案：
$-4$　解析　如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得$\triangle OPM$与$\triangle OMQ$相似，于是有$\frac{|OQ|}{|OM|}=\frac{|OM|}{|OP|}=\frac{|MQ|}{|MP|}=\lambda$，又$P(-\frac{1}{2},0)$，且阿波罗尼斯圆方程为$x^{2}+y^{2}=4$，所以$|OP|=\frac{1}{2}$，$|OM| = 2$，因此$\lambda = 4$，$|OQ| = 8$，由于$Q(m,0)(m＜-\frac{1}{2})$，因此$m=-8$，故$\lambda + m=-4$。

[典例3]　已知圆$C$是以线段$MN$为直径的圆，且$M(2,2\sqrt{3})$，$N(6,-2\sqrt{3})$，点$P$为圆$C$上的动点，若点$A(2,0)$，点$B(1,1)$，则$2|PA|-|PB|$的最大值为（ ）
A. $\sqrt{26}$
B. $4+\sqrt{2}$
C. $8 + 5\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$

答案：
A　解析　由题设，知圆心$C(4,0)$且$|MN|=\sqrt{(-2\sqrt{3}-2\sqrt{3})^{2}+(6 - 2)^{2}}=8$，即圆C的半径为4，因为圆$C:(x - 4)^{2}+y^{2}=16$，如图，$D(-4,0)$，则$|OD|=2|AC|=|CP|=|OC|=4$，所以$\frac{|AC|}{|CP|}=\frac{|PC|}{|DC|}=\frac{1}{2}$，即$\triangle APC\sim\triangle PDC$，故$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|AC|}{|CP|}=\frac{1}{2}$(亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导)。所以$2|PA|-|PB|=|PD|-|PB|$，在$\triangle PBD$中，$|PD|-|PB|＜|BD|$，所以要使$|PD|-|PB|$最大，则P，B，D三点共线，且最大值为$|BD|$的长度。又$|BD|=\sqrt{(1 + 4)^{2}+1}=\sqrt{26}$，所以$2|PA|-|PB|$的最大值为$\sqrt{26}$。故选A。

1. 椭圆的定义
（1）文字形式
平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离的和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做________。这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的一半称为半焦距。
（2）代数式形式
点集$P = \{ M||MF_1| + |MF_2| = 2a\}$，其中$|F_1F_2| = 2c ＜ 2a$。

答案： 椭圆 焦点 焦距